重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期开学测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（ ）
A. 平行四边形B. 矩形
C. 菱形D. 正方形
2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
3. 把分解因式的结果是（ ）
A. B.
C. D.
4. 的结果在哪两个连续整数之间（ ）
A. 7与8B. 8与9C. 9与10D. 10与11
5. 将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移方式正确的是（ ）
A. 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度
B. 向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度
C. 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
D. 向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度
6. 若实数，且a，b满足，，则代数式值为（ ）
A. 2B. －20C. 2或－20D. 2或20
7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D. 或
8. 若关于x的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 图象与y轴的交点为
B. 图象具有对称性，对称轴是直线
C. 当或时，函数值y随x值增大而增大
D. 当时，函数的最大值是4
10. 已知不等式，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则不等式的解集为
B. 若不等式的解集为，则
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，
11. 已知抛物线，当时，；当时，．下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 已知点在抛物线上，当时，
D. 若方程的两实数根为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．
12. 多项式的最小值为_______．
13. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为______．
14. 对于每个x，函数y是，这两个函数的较小值，则函数y的最大值是________.
四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两个实数根，满足，求k的值．
16. 已知函数．
（1）当时，函数值随的增大而增大．求的取值范围；
（2）若，求时，函数值的取值范围．
17. 已知二次函数的图象经过点，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若点和点均在该抛物线上，当时．请你比较的大小；
（3）若，且当时，y有最小值，求a的值．
18. 已知，求的值，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）若，求的值；
（2）求值；
（3）比较与的大小，并说明理由．
19. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．
（1）求该二次函数的解析式，
（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9，求的值；
（3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值范围．