重庆市第一中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：有理数2024的相反数是，
故选：B．
2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形就是图形的左视图是关键．左视图就是从几何体的左侧看，所得到的图形，实际上就是从左面“正投影”所得到的图形，据此即可获得答案．
【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层有一个小正方形，且上层的小正方形在左边一列．
故选：C．
3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查全国中学生每天作业完成的时间
B. 调查一批“遥遥领先”手机的电池寿命
C. 调查我市中学生观看电影《流浪地球2》的情况
D. 为保证全球首架大型客机首飞成功，对其零部件进行检查
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据全面调查与抽样调查的特点，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．逐一判断即可解答．
【详解】解：A．调查全国中学生每天作业完成的时间，因为普查难度大且意义不大，选择抽样调查较为合适，故A不符合题意；
B．调查一批“遥遥领先”手机的电池寿命，因为普查难度大且意义不大，选择抽样调查较为合适，故B不符合题意；
C．调查我市中学生观看电影《流浪地球2》的情况，因为普查难度大且价值不大，选择抽样调查较为合适，故C不符合题意；
D．为保证全球首架C919大型客机首飞成功，因为对精确度要求高，且事关重大，应当选择全面调查，故D符合题意；
故选：D．
4. 下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小比较，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，先将各数化简，再根据“正数负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A．，，故，故本选项符合题意；
B．，故，故本选项不符合题意；
C．因为，，，故，故本选项不符合题意；
D．，，故，故本选项不符合题意；
故选：A．
5. 已知，则下列变形中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等式的性质，熟知性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
根据等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，，成立，不符合题意；
B、，，成立，不符合题意；
C、，，原变形错误，不符合题意；
D、，，成立，不符合题意．
故选：C．
6. 如图所示，射线在射线的反向延长线上，则射线的方向是（ ）
A. 北偏东B. 东偏北C. 北偏东D. 东偏北
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了方向角的定义，求出，根据方向角定义可得出答案，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
依题意可知：，
∵，
又∵，
∴，
射线的方向是北偏东．
故选：．
7. 《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有户人家，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故选：D．
8. 下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ）
A. 63B. 64C. 80D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现●个数的规律是解题的关键．依次求出每个图形中●的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第①个图形中●的个数为：；
第②个图形中●的个数为：；
第③个图形中●的个数为：；
…，
所以第n个图形中●的个数为．
当时，（个），
即第⑧个图形中●的个数为80个．
故选：C．
9. 如图，当输入的值为时，输出的结果为（ ）
A. B. 11C. 21D. 43
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，求代数式的值，利用程序图中的程序列式运算即可，本题是操作性题目，正确理解程序图中的程序并列出算式是解题的关键．
【详解】解：当输入的值为时，，
需重新输入的值为3，
，
需重新输入的值为，
，
∴输出的结果为11，
故选：B．
10. 已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】由于（x+y）2=12，（x-y）2=4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵（x+y）2=12①，（x-y）2=4②，
∴①+②得2（x2+y2）=16，解得x2+y2=8， ①-②得4xy=8，解得xy=2，
∴x2+3xy+y2=8+3×2=14．
故选D．
【点睛】本题主要考查多项式的乘法法则和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用整体代入的思想解决问题.
11. 已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（ ）
A. 20°
B. 80°
C. 10°或40°
D. 20°或80°
【答案】C
【解析】
【详解】因为∠AOB=50°,∠BOC=30°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°或∠AOC=∠AOB－∠BOC=20°,又因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=,所以∠AOD=40°或∠AOD=10°,故选C.
12. 已知3个多项式分别为：，下列结论正确的个数有（ ）
①若，则；
②若的结果为单项式，则；
③若关于x的方程无解，则；
④代数式，化简后共有3种不同表达式．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．将按要求代入各选项计算即可．
【详解】解：①，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，故①错误；
②
，
若为单项式，则，
解得：，故②正确；
③，
，
，
，
方程无解，
，
，故③正确；
④
，
若，
原式
，
若，
原式
，
若，
原式，
，
代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13. 单项式的系数是________．
【答案】-23
【解析】
【分析】根据单项式系数定义解答，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【详解】根据单项式系数的定义，单项式的系数为．
故答案为．
【点睛】本题考查了单项式的系数，解题的关键是掌握：单项式中数字因数叫做单项式的系数．
14. 2023年除夕之夜，盛大的光影焰火秀在重庆绽放，浪漫的山城以跨年焰火的形式辞旧迎新．据统计，近距离线下观看焰火秀的人数近590000人，将数据590000用科学记数法表示应为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法表示方法，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
15. 已知是关于的方程的解，则的值为____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义，掌握一元一次方程的解法是正确解答的关键．把代入关于的方程可得，再解关于的一元一次方程即可．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
解得．
故答案为：9．
16. 若两个单项式与是同类项，则的值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项）可求出，的值，再代入计算即可．
【详解】因为单项式与是同类项，可得
，．
解得，．
所以．
故答案为：．
17. 如图，为线段的中点，若点在线段上，且，，则线段的长为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可得，然后根据线段的中点定义可得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：4．
18. 如图，当钟表上的时间显示为7：20，时针与分针所成的夹角为______度．

【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是，时针一分钟转进行计算，即可解答．
【详解】由题意得：
．
故答案为：100．
19. 艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地，已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍，若君君先骑行2千米，艳艳出发半小时后恰好追上君君，则君君每小时骑行____千米．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设君君每小时骑行x千米，则艳艳每小时骑行千米，根据若君君先骑行2千米，艳艳才从A地出发，艳艳出发半小时后恰好追上君君，列出一元一次方程，解方程即可．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设君君每小时骑行x千米，则艳艳每小时骑行千米，
由题意得：，
解得：，
即君君每小时骑行20千米，
故答案为：20．
20. 有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴与绝对值的相关知识，解题的关键在于正确去掉绝对值符号．
根据数轴可知：，，，，然后去掉绝对值符号，进行计算即可．
【详解】解：由数轴可知，，，，，
，，，
，
故答案为：
21. 一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“正方形纸板的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为，
则，
解得：x=1，
∴，
故答案为：．
22. 一个三位正整数，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的3倍，则称这个三位数为“3倍特征数”．例如：125满足1+5=3×2，所以125是“3倍特征数”．对于某些“3倍特征数”，可进行如下操作：取相邻数位上的两个数的平均数放入这两个数之间，并去掉未取数位上的数字，得到两个新的三位数，．并规定，且能被3整除，则满足题意的“3倍特征数”m的值为________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减及分类讨论问题，属于新定义题，能正确理解题意是解决本题的关键．根据题意得：，再由能被3整除可得，或（舍去）或或（舍去），进而分情况讨论计算即可．
【详解】解：设，由题意得：，
，
，
∴，
∵能被3整除，
∴能被3整除，
∴或，
即或（舍去）或或（舍去），
对于，当，时，，此时，
当，时，，不合题意，
对于，当，时，，此时，
当，时，，此时，
当，时，，此时，
当，时，，不合题意，
综上所述：的值为：或或或．
故答案为：或或或．
三、计算题（本大题3个小题，23题16分，24、25每小题8分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）利用化简绝对值，有理数的乘除运算计算即可；
（）根据有理数的乘方，乘法分配律进行计算即可；
（）根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解；
（）先去括号，再根据合并同类项法则计算即可；
本题考查了有理数的运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式；
【小问4详解】
解：原式
．
24. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
25. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算，利用非负数的性质得出，的值，代入即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵
∴
∴，
解得：，，
∴原式
．
四、解答题（本大题5个小题，26-29每小题10分，30题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图，已知点在线段上，为直线外一点．
（1）请按要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①连接；
②在线段上截取点，使得线段；
③若，在线段上取的中点．
（2）由于为的中点，小敏在学习完线段中点的相关知识后，进行了自主研究．若为的中点，请根据她的思路，补全下列解题过程：
解：∵点是线段的中点，
∴ ，
∵点是线段的中点，
∴ ，
∵ ，
即，
∴ ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；
（2），，，．
【解析】
【分析】（）根据线段的定义画图即可；
以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；
以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；
（）根据中点的定义以及线段的和差关系填空即可；
本题考查了作图—复杂作图，线段的中点定义及和差关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【小问1详解】
（）如图，线段即为所求；
如图，以点为圆心，交线段于点，则点即为所求；
如图，以点为圆心，交线段于点，则点即为所求；
【小问2详解】
解：∵点是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
即，
∴，
故答案为：，，，．
27. 重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：，B组：，D组：，E组：，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次调查的总体是 ；（选填“A”或“B”）
A．525名学生 B．525名学生的速算成绩
（2）此次调查的样本容量是 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 度；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数．
【答案】（1）B （2）50、108
（3）见解析 （4）估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人．
【解析】
【分析】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
（1）根据总体的概念求解即可；
（2）由E组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以D组人数所占比例即可得出其圆心角度数；
（3）根据各组人数之和等于总人数可得B组人数，继而可补全图形；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
【小问1详解】
解：此次调查的总体是525名学生的速算成绩，
故选：B；
【小问2详解】
解：此次调查的样本容量是，
在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为，
故答案为：50、108；
【小问3详解】
解：B组人数为（人），
补全图形如下：
；
【小问4详解】
解：（人），
答：估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人．
28. 与有公共顶点，其中，平分．
（1）当与如图1所示，且，，求的度数；
（2）当与重合时如图2所示，反向延长线到，平分，求的度数．
【答案】（1）25°；（2）135°
【解析】
【分析】（1）先求出∠AOB的度数，根据∠AOD=+求出∠AOD，再根据角平分线的定义知∠EOA=∠AOD，据可得答案；
（2）设，则，由可得，根据平分得，即可得的度数．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）设，
∵平分，与重合，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
29. 小南计划安装如图所示由六块相同的长方形玻璃组成的窗户（如图①），该窗户长为米，宽为米，玻璃上方安装了两张半径相同且不重叠的扇形遮光帘（如图②）．
（1）该窗户的透光面积共__________平方米：（用含的代数式表示，结果保留）
（2）（列一元一次方程解决问题）安装一扇这样的窗户需要块长方形玻璃，张遮光帘，某厂家现有工人人，平均每人每天可加工长方形玻璃块或遮光帘张，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产长方形玻璃，多少名工人生产遮光帘？
（3）在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下：
若小南选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求的值．（在（3）小问中的取）
【答案】（1）
（2）分配名工人生产长方形玻璃，名工人生产遮光帘
（3）
【解析】
【分析】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，能用含的代数式表示出玻璃的面积进而得出甲、乙两个厂家所需的费用是解题的关键．
（1）分别表示出窗户的总面积及遮光帘的面积即可解决问题．
（2）设分配名工人生产长方形玻璃，根据题意列出方程即可解决问题．
（3）分别表示出甲、乙两个厂家所需的费用即可解决问题．
【小问1详解】
解：由题知，窗户的总面积为平方米，小长方形的宽为，
∴遮光帘的面积为（平方米），
∴该窗户的透光面积共平方米．
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵安装一扇这样的窗户需要块长方形玻璃，张遮光帘，
∴长方形玻璃的数量是遮光帘数量的倍．
设分配名工人生产长方形玻璃，则名工人生产遮光帘，
∴，
解得：，则．
答：分配名工人生产长方形玻璃，名工人生产遮光帘．
【小问3详解】
解：∵遮光帘不重叠，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴窗户玻璃的面积超过平方米．
甲商家所需的费用为：，
∵，，
∴赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积．
乙商家所需的费用为：，
∵小南选择甲、乙两个厂家所需费用相同，
∴，
解得：．
故的值为．
30. 如图，在直角三角形中，，，，．
（1）动点同时从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，经过_________秒两点首次相遇，相遇时它们距点__________个单位长度：
（2）如图，动点从出发，沿折线（含端点和）运动，速度为每秒个单位长度，到达点停止运动，已知点到的距离为个单位长度，设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值；
（3）如图，将三角形顶点与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如，点和点在折线数轴上的距离为个单位长度．动点从点出发，以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点从点出发，以个单位秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为个单位秒，过点后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为秒．在此运动过程中，两点的距离与两点的距离是否会相等？若相等，请直接写出的值；若不相等，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）或或或
【解析】
【分析】（）设相遇时间为秒，可得，
（）分两种情况讨论：当在上时和当在上时；
（）分五种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时；
本题考查了一元一次方程的应用，数轴的综合应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：设相遇时间为秒，
根据题意，得，
解得，
相遇时它们距点的距离：，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：动点K运动到点所用的时间：（秒），
当在上时， 可得
解得，
当在上时，，可得，
解得，
综上所述，或；
【小问3详解】
解：从到所用时间：（秒），
从到所用时间：
从到所用时间：
从到所用时间：
当时，，，
根据题意，得，
解得；
当时，，，
根据题意，得，
解得；
当时，，，
根据题意，得，
解得；
当时，，，
根据题意，得，
不符合题意；
当时，，，
根据题意，得，
解得；
综上所述，或或或．
遮光帘（元/平方米）
玻璃（元/平方米）
甲厂家
不超过平方米的部分，元/平方米；
超过平方米的部分，元/平方米
乙厂家
元/平方米，且每购买平方米的玻璃赠送平方米遮光帘