四川省泸州市合江县少岷初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 菱形C. 线段D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【详解】解：菱形、线段、正方形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以都是中心对称图形
等边三角形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
2. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中
B. 在数轴上任取一点，则该点表示的数是有理数
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
D. 任意画一个四边形，其内角和为360
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件的分类：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故A不符合题意；
B、在数轴上任取一点，则该点表示的数是有理数是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个四边形，其内角和为360是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．
3. 用配方法解方程，下列配方正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】x2﹣4x=﹣2，
x2﹣4x+4=﹣2+4，
（x﹣2）2=2．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法在解一元二次方程中的应用，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
4. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
6. 如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，利用圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解．
【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，
则：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形，以及圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
7. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的边长，判断出为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．
【详解】如图，根据网格可得，
，，，
则有，
故为直角三角形；
在中，．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是利用勾股定理得到直角三角形．
8. 若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与轴有交点，说明，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数 （，，是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
9. 若函数 的图象位于第一、三象限， 则直线一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，再由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
10. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转180°，则点B 的对应点B′ 的坐标是（ ）
A. （2，0）B. （2，-1）C. （2，-2）D. （-2，2）
【答案】C
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据点与点关于点对称求解即可得．
【详解】解：设点的坐标为，
由题意可知，点与点关于点对称，
，
，
解得，
即点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了点坐标与中心对称，正确判断出点与点关于点对称是解题关键．
11. 若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是，等面积法即可求解．
【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8，根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是，
设直角三角形内切圆半径为r，则，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理以及三角形内切圆与内心，牢记直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解此题的关键．
12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②∵，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，
故②不正确；
③由对称知，当x=3时，函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，
故③不正确；
④∵当x=-1时，函数值小于0，即a-b+c＜0，
又∵b=-2a，
∴a+2a+c＜0，
∴3a＜-c，即c＜-3a，
故④正确；
⑤当x=1时，y=a+b+c值最大．
∴a+b+c≥am2+bm+c，
故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），
故⑤正确．
综上，④⑤正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 从，，，四个数中，随机选取个数，作为二次函数中的，则抛物线开口向上的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】二次函数图像开口向上得出，从所列个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：∵从，，，四个数中随机选取一个数，共有种等可能结果，
其中使该二次函数图像开口向上的有，这种结果，
∴该二次函数图像开口向上的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
14. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
15. 一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是__________ cm2
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式 直接计算即可．
【详解】解：由题意可得，
，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查求扇形面积，解题关键是熟记扇形面积公式．
16. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若，四边形AMNB的面积是3，则k的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解．
【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，
∴，
∵四边形的面积是3，
∵反比例函数的图象在第二四象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
三、本大题共三个小题，每小题6分，共18分．
17. 计算：°+°
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．
【详解】原式=
=，
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了求解一元二次方程，把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程的两个根．熟练掌握解一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴或，
∴，．
19. 如图，在中，点在边上，，，，求的长．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可得，根据，公共角，即可证明，根据相似三角形的性质即可得到结果．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
即，
（负值舍去）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20. 某校为了解本校学生的消防知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查．调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类．并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有______名，估计该校2000名学生中“了解”的人数为______；
（2）“不了解”的4人中有甲、乙两名男生，丙、丁两名女生，若从中随机抽取两人去参加消防知识培训，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
【答案】（1）50、600
（2）恰好抽到2名女生的概率．
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
（1）由“不了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“了解”的人数，用总人数乘以样本中“了解”人数所占比例可得，然后补全统计图即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：本次调查的学生总人数为：（名），
则了解的学生人数为：（名），
估计该校2000名学生中“了解”的人数约有：（名），
补全统计图如下：
故答案为：50、600；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2个，
所以恰好抽到2名女生的概率．
21. 如图，的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）.
（1）画出关于点O成中心对称的图形；
（2）①画出绕原点O逆时针旋转的；
②直接写出点的坐标为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）（-2，2）．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可，
（2）根据旋转定义和要求糊涂即可，
（3）根据所作图，在第二象限，横坐标为-2，纵坐标为2，写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）由图可知，C2的坐标为（-2，2）．
【点睛】本题考查利用变换作图与点的坐标问题，掌握中心对称的特征，与旋转对称的性质，抓住关建点，中心和方向是解题关键．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的关系式，进而确定点A的坐标，由A、B两点的坐标可求出一次函数的关系式；
（2）求出一次函数与y轴的交点坐标，将转化为即可求解；
（3）利用图象直接观察得出答案．
【小问1详解】
解：把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为：；
把代入，得，
∴，
把，代入，得，
解得：，
∴一次函数表达式为：；
【小问2详解】
解：如图，设直线与y轴的交点为C点，
当x=0时，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当时，即，
∴由图象可知，x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了考查一次函数、反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握待定系数法，是求函数关系式的常用方法．
23. 如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得前方小岛C的俯角为30°，水平飞行20km后到达B处，发现小岛在其后方，测得小岛的俯角为45°．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
【答案】所以飞机飞行的高度为米.
【解析】
【分析】如图，过作于 则设 则 再证明 再列方程，解方程可得答案.
【详解】解：如图，过作于 则
设 则









所以飞机飞行的高度为米.
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，含的直角三角形的性质，熟练的构建直角三角形是解题的关键.
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24. 如图，PA切于点A，PC交于C，D两点，且与直径AB交于点Q．
（1）求证：；
（2）若，，，求线段PD的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）线段PD的长为7.
【解析】
【分析】（1）连接AC，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠ADC，再由∠BQC=∠DQA，可证△BQC∽△DQA，由相似三角形的对应边成比例即可得证；
（2）由切线性质得到∠BAP=∠BAD+∠PAD=90°，由直径所对的圆周角为90°，得∠ABD+∠BAD=90°，∠PAD=∠ABD=∠ACD，从而△PDA∽△PAC，由相似三角形的性质得到AP2=PD·PC，即AP2=PD·（PD+5）在Rt△APQ中，由勾股定理得P2+AQ2=PQ2，即可求解.
【小问1详解】
证明：连接AC
∵∠ABC和∠ADC所对的圆弧都为，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠BQC=∠DQA，
∴△BQC∽△DQA，
∴，
∴
【小问2详解】
解：由（1）知：，且，，，
∴AQ=4，
∵PA切于点A，
∴∠BAP=∠BAD+∠PAD=90°，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠PAD=∠ABD=∠ACD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△PAC，
∴，即AP2=PD·PC，即AP2=PD·（PD+5）
在Rt△APQ中，AP2+AQ2=PQ2，
∴PD·（PD+5）+42=（PD+3）2，
解得：PD=7，
即线段PD的长为7.
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅助线构造相似三角形．
25. 综合与探究
如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线和直线的函数解析式．
（2）是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；的最大值为
（3）或 或或 或
【解析】
【分析】（1）根据两点、的坐标解出二次函数的解析式，根据、两点的坐标解出直线的 解析式；
（2）建立二次函数的关系式，求出面积的最大值及此时点D的坐标
（3）分三种情况讨论即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：把，代入得，
，解得，
，
，
，
设直线的解析式为，
把 代入得，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，
过点 作 于点 交 于点，
设， ，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
；
【小问3详解】
解：二次函数的对称轴为：，设点的坐标为，
①当为等腰三角形的底边时，中点的坐标为
作直线且过，设的直线方程为 ，
，解得
方程
令， ，
；
②当为等腰三角形的腰，为顶角时，
，
解得或，
或；
③当为等腰三角形的腰，为顶角时，
，
解得或，
或，
综上所述，点的坐标为或 或或 或．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形的综合应用，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．