新高考数学一轮复习教案第2章第4节 指数与指数函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第2章第4节 指数与指数函数（含解析），共18页。
1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(指数型函数图象)函数y＝2x＋1的图象是( )
答案：A
2．(指数幂的运算)计算：π0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) SKIPIF 1 < 0 ＝________.
答案：eq \f(11,8)
3．(根式的意义)若eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．
解析：eq \r(2a－12)＝|2a－1|，eq \r(3,1－2a3)＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
4．(函数过定点)函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：令x－2＝0，得x＝2.此时a0＋1＝2，∴定点为(2,2)．
答案：(2,2)
5．(指数函数的值域)函数y＝3x2－2x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq \f(1,3)，所以函数y＝3x2－2x的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
二、易错点练清
1．(化简eq \r(n,an)(a∈R)时忽略n的范围)计算 eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4)＝________.
答案：2eq \r(2)
2．(错误理解指数函数的概念)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.
答案：2
3．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案：2或eq \f(1,2)
考点一 指数幂的化简与求值
[典例] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是( )
A．1 B．a
C．a SKIPIF 1 < 0 D．a SKIPIF 1 < 0
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 ))0＋2－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 SKIPIF 1 < 0 )) SKIPIF 1 < 0 －(0.01)0.5＝________.
[解析] (1)eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq \f(a3,a SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 )＝a SKIPIF 1 < 0 ＝a SKIPIF 1 < 0 .故选D.
(2)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) SKIPIF 1 < 0 －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) SKIPIF 1 < 0 ＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)－eq \f(1,10)＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
[答案] (1)D (2)eq \f(16,15)
[方法技巧]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．化简指数幂常用的技巧
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))－p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))p(ab≠0)；
(2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))m，aeq \f(n,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝a SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 等；
(4)乘法公式的常见变形，如(a SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 －b SKIPIF 1 < 0 )＝a－b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )2＝a±2a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 ∓a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )＝a±b.
[针对训练]
1．化简eq \f(a SKIPIF 1 < 0 ·b－1 SKIPIF 1 < 0 ·a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ,\r(6,a·b5))(a>0，b>0)的结果是( )
A．a B．ab
C．a2b D．eq \f(1,a)
解析：选D 原式＝eq \f(a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ,a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 )＝a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,a).
2．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝________.
解析：由题设可得2 SKIPIF 1 < 0 ＝14,2 SKIPIF 1 < 0 ＝7,2 SKIPIF 1 < 0 ＝4，则2 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(14,7)＝2，
∴2 SKIPIF 1 < 0 ＝2×4＝23，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝3.
答案：3
3．若x>0，则(2x SKIPIF 1 < 0 ＋3 SKIPIF 1 < 0 )(2x SKIPIF 1 < 0 －3 SKIPIF 1 < 0 )－4x SKIPIF 1 < 0 (x－x SKIPIF 1 < 0 )＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x SKIPIF 1 < 0 )2－(3 SKIPIF 1 < 0 )2－4x SKIPIF 1 < 0 ·x＋4x SKIPIF 1 < 0 ·x SKIPIF 1 < 0 ＝4x SKIPIF 1 < 0 －3 SKIPIF 1 < 0 －4x SKIPIF 1 < 0 ＋4x SKIPIF 1 < 0 ＝4x SKIPIF 1 < 0 －33－4x SKIPIF 1 < 0 ＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
考点二 指数函数的图象及应用
[典题例析]
(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
(2)(多选)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列四个关系式中成立的关系式是( )
A．0