新高考数学一轮复习教案第3章第1节 导数的概念及运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第3章第1节 导数的概念及运算（含解析），共17页。
核心素养立意下的命题导向
1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).称函数f′(x)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
4．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(商的导数)若函数f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex)
C．1＋x D．1－x
答案：B
2．(导数的运算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
3．(求切线方程)曲线y＝lg2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝eq \f(1,xln 2)，∴切线的斜率k＝eq \f(1,ln 2)，∴切线方程为y＝eq \f(1,ln 2)(x－1)，∴所求三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,ln 2)＝eq \f(1,2ln 2)＝eq \f(1,2)lg2e.
答案：eq \f(1,2)lg2e
4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是( )
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2) D．(sin xcs x)′＝cs 2x
解析：选ABD 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，所以C项错误，其余都正确．
2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x)的导数为f′(x)＝2x－eq \f(1,x2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.故选A.
考点一 导数的运算
[典题例析]
(1)设f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(2)(2021·日照质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．1
C．－1 D．e
(3)函数f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))，则其导函数f′(x)＝________________.
[解析] (1)f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，由f′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝ 2 021，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故选C.
(3)∵f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴f′(x)＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(1,2)x·4cs 4x
＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
[答案] (1)B (2)C (3)－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x
[方法技巧]
1．导数运算的常见形式及其求解方法
2．解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C.eq \f(3,4) D．1
解析：选B 因为f′(x)＝eq \f(a,ax－1)，所以f′(2)＝eq \f(a,2a－1)＝2，解得a＝eq \f(2,3).故选B.
2．(2021·长沙一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案：－4
考点二 导数的几何意义
考法(一) 求切线方程
[例1] 已知函数f(x)＝x2.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求经过点P(－1,0)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))．
∵f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
又∵切点(x0，xeq \\al(2,0))在切线上，
∴代入切线方程得xeq \\al(2,0)＝2x0(x0＋1)，
即xeq \\al(2,0)＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2.
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：
点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：
切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”求解，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．
考法(二) 求参数值或范围
[例2] 已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) B．(3，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) D．(0,3)
[解析] 由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得30)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是( )
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：选AC 由点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.设切点为(m,2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线方程为y－2m3＝6m2(x－m)，代入点A(1,2)的坐标得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－eq \f(1,2)，即斜率为6或eq \f(3,2)，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是y－2＝6(x－1)或y－2＝eq \f(3,2)(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选A、C.
12．(2020·江南十校联考)函数f(x)＝(2x－1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1，
又切线的倾斜角θ∈[0，π)，
因此切线的倾斜角θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
13．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则 y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为eq \f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
答案：eq \r(5)
14．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)，设曲线f(x)与l切于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,x1)))，则切线斜率k＝－eq \f(1,x\\al(2,1))，故切线方程为y－eq \f(1,x1)＝－eq \f(1,x\\al(2,1))(x－x1)，即y＝－eq \f(1,x\\al(2,1))x＋eq \f(2,x1).与g(x)＝x2联立，得x2＋eq \f(1,x\\al(2,1))x－eq \f(2,x1)＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x\\al(2,1))))2－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x1)))＝0，解得x1＝－eq \f(1,2)，故斜率k＝－ eq \f(1,x\\al(2,1))＝－4.
答案：－4
15．设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq \f(1,2).
又因为f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，))所以f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0，得y＝－eq \f(6,x0)，所以切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0)))|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝3a＋2b＋c＝0，,f′－1＝3a－2b＋c＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝0，,3a＋c＝0.))
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(x0，xeq \\al(3,0)－3x0)，
因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－3，
所以切线方程为y－(xeq \\al(3,0)－3x0)＝(3xeq \\al(2,0)－3)(x－x0)，
又切线过点A(2，m)，
所以m－(xeq \\al(3,0)－3x0)＝(3xeq \\al(2,0)－3)(2－x0)，
所以m＝－2xeq \\al(3,0)＋6xeq \\al(2,0)－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，
画出g(x)的草图知，当－60)为它们的公切线，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y＝x2))可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0 ①.对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b ②.联立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝eq \f(4,k)－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0