新高考数学一轮复习教案第5章第3节 第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第5章第3节 第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用（含解析），共29页。教案主要包含了真题集中研究——明考情，题型精细研究——提素养等内容，欢迎下载使用。
1．(2020·全国卷Ⅲ·考查数量积的运算、模)
已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉＝( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35)
C.eq \f(17,35) D．eq \f(19,35)
解析：选D 由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(25－12＋36)＝7，所以csa，a＋b＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(19,5×7)＝eq \f(19,35)，故选D.
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查向量垂直)
已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
解析：选D 法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cs 60°＝eq \f(1,2).
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2)≠0，故A不符合题意；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝eq \f(1,2)－2＝－eq \f(3,2)≠0，故C不符合题意；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.
法二：不妨设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝(1,0)，则a＋2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，2a＋b＝(2，eq \r(3))，a－2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，2a－b＝(0，eq \r(3))，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.
法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：
由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
3．(2019·全国卷Ⅱ·考查数量积的坐标运算)
已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C ∵eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，∴eq \r(12＋t－32)＝1，解得t＝3，∴eq \(BC,\s\up7(―→))＝(1,0)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝2×1＋3×0＝2.
4．(2019·全国卷Ⅰ·考查两向量的夹角)
已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选B 由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(b2,2b2)＝eq \f(1,2).
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为eq \f(π,3).
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查数量积的范围)
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
解析：选A 法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))．
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up7(―→))＝(x，y)，
eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,0)，且－1