新高考数学一轮复习教案第7章第5节 第1课时 系统知识牢基础——空间向量及其应用（含解析）

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知识点一 空间向量的概念及有关定理
1．空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
[重温经典]
1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))不能构成空间的一个基底，则( )
A．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 共线 B．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→)) 共线
C．eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 共线 D．O，A，B，C四点共面
解析：选D ∵向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→)) 不能构成空间的一个基底，∴向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AD,\s\up7(―→))，则x，y的值分别为( )
A．1,1 B．1，eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)，eq \f(1,2) `D.eq \f(1,2)，1
解析：选C eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(A1E,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C1,\s\up7(――→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))，故x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2).
3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(―→))，设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，则下列等式成立的是( )
A．eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c B．eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C．eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a D．eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析：选BD 对于A，利用向量的四边形法则，
eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，A错；
对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(ON,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) eq \(OB,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(OC,\s\up7(―→))))－eq \(OA,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a，B对；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，
所以eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a，
所以eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b＋\f(1,3)c－a))＝eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a，C错；
对于D，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AP,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，D对，故选B、D.
4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))表示eq \(OC1,\s\up7(―→))，则eq \(OC1,\s\up7(―→))＝________________.
解析：∵eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))，∴eq \(OC1,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))＋eq \(CC1,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＋eq \(AA1,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)).
答案：eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→))
5.如图所示，在四面体OABC中，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up7(―→))＝________(用a，b，c表示)．
解析：eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
＝a＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
答案：eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.
解析：∵a∥b，∴eq \f(2x,1)＝eq \f(1,3)＝eq \f(3,9)，∴x＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
7．(易错题)给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；
④若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝0.
其中为真命题的是________(填序号)．
解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确．
答案：④
知识点二 两个向量的数量积及其运算
1．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是[0，π]，若a，b＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|csa，b．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[重温经典]
1．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B 如图，令eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝c，
则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))·(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＋eq \(AD,\s\up7(―→))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a
＝0.
2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|eq \(PC,\s\up7(―→))|等于( )
A．6eq \r(2) B．6
C．12 D．144
解析：选C ∵eq \(PC,\s\up7(―→))＝eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴eq \(PC,\s\up7(―→)) 2＝eq \(PA,\s\up7(―→))2＋eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(BC,\s\up7(―→))2＋2eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝36＋36＋36＋2×36cs 60°＝144，∴|eq \(PC,\s\up7(―→))|＝12，故选C.
3．(教材改编题)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
解析：csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(2\r(5),15).
答案：－eq \f(2\r(5),15)
4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，
故|b|＝eq \r(－42＋22＋22)＝2eq \r(6).
答案：2eq \r(6)
5．已知a＝(cs θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cs θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
解析：∵a＋b＝(cs θ＋sin θ，2，cs θ＋sin θ)，a－b＝(cs θ－sin θ，0，sin θ－cs θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cs2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cs2θ)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
6．(易错题)如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．
解析：∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BF,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))，
∴|eq \(BD,\s\up7(―→))|2＝|eq \(BF,\s\up7(―→))|2＋|eq \(FE,\s\up7(―→))|2＋|eq \(ED,\s\up7(―→))|2＋2eq \(BF,\s\up7(―→))·eq \(FE,\s\up7(―→))＋2eq \(FE,\s\up7(―→))·eq \(ED,\s\up7(―→))＋2eq \(BF,\s\up7(―→))·eq \(ED,\s\up7(―→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)，故|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝eq \r(3－\r(2)).
答案：eq \r(3－\r(2))
知识点三 空间中的平行与垂直的向量表示
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2．空间位置关系的向量表示
[重温经典]
1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
解析：选C 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0))，化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z，故选C.
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9.
3．平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
解析：选C ∵α∥β，∴两平面的法向量平行，
∴－eq \f(2,1)＝－eq \f(4,2)＝eq \f(k,－2)，∴k＝4.
4．(教材改编题)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
解析：选C ∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．
5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
解析：以A为原点，分别以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，
则A(0,0,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1)).
∵eq \(AM,\s\up7(―→))·eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，1))＝0，
∴ON与AM垂直．
答案：垂直
6．(易错题)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).
因为底面ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，所以eq \(PA,\s\up7(―→))＝(a,0，－a)，eq \(EG,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))).
则eq \(PA,\s\up7(―→))＝2eq \(EG,\s\up7(―→))，故PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，所以eq \(PB,\s\up7(―→))＝(a，a，－a)．
又eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故eq \(PB,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝0＋eq \f(a2,2)－eq \f(a2,2)＝0，所以PB⊥DE.由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
知识点四 利用空间向量求空间角
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,| a ||b|)，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|csa，n|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))的夹角，如图a.
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图b，c.
[重温经典]
1．(易错题)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解析：选C csm，n＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即m，n＝45°，∴两平面所成的二面角为45°或135°.
2．(教材改编题)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量， 若csm，n＝－eq \f(1,2)，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选A 由于csm，n＝－eq \f(1,2)，所以m，n＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
解析：选B 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1，1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)．
所以eq \(BB1,\s\up7(―→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，eq \(AD1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)．
令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq \(AC,\s\up7(―→))＝－x＋y＝0，n·eq \(AD1,\s\up7(―→))＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，
所以sin θ＝|csn，eq \(BB1,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,\r(3)×1)＝eq \f(\r(3),3).
4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
易得A(2,0,0)，B(2,3,0)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，
则eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(0,3,1)，eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(－2,0,1)．
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，
则cs θ＝|cseq \(AB1,\s\up7(―→))，eq \(BC1,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),10).
答案：eq \f(\r(2),10)
5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．
解析：如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝(0,1,0)，
eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→))＝45°.
故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
答案：45°名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角
a，b(a≠0，b≠0)
csa，b＝
eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0