新高考数学一轮复习教案第8章第3节 第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第8章第3节 第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系（含解析），共14页。教案主要包含了真题集中研究——明考情，题型精细研究——提素养等内容，欢迎下载使用。
1．(2020·全国卷Ⅰ·考查弦长问题)
已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9.
设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.
设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l.
因为(1－3)2＋22＜9，
所以点A(1,2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小．
设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝|AC|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2)，
所以|BD|min＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－2\r(2)2)＝2，
即弦的长度的最小值为2，故选B.
2．(2020·全国卷Ⅲ·考查导数的几何意义、直线与圆相切的应用)
若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq \f(1,2)
C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
解析：选D 设直线l在曲线y＝eq \r(x)上的切点为(x0，eq \r(x0))，则x0>0，函数y＝eq \r(x)的导数为y′＝eq \f(1,2\r(x))，则直线l的斜率k＝eq \f(1,2\r(x0)) .
设直线l的方程为y－eq \r(x0)＝eq \f(1,2\r(x0))(x－x0)，
即x－2eq \r(x0)y＋x0＝0.
由于直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,5)相切，则eq \f(x0,\r(1＋4x0))＝eq \f(1,\r(5))，
两边平方并整理得5xeq \\al(2,0)－4x0－1＝0，
解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,5)(舍去)，
所以直线l的方程为x－2y＋1＝0，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).
3．(2020·全国卷Ⅰ·考查直线与圆的位置关系)
已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选D 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，点M到直线l的距离为d＝eq \f(|2×1＋1＋2|,\r(22＋12))＝eq \r(5)＞2，所以直线l与圆相离．
由圆的知识可知，A，P，B，M四点共圆，且AB⊥MP，所以|MP|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq \f(1,2)×|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝eq \r(|MP|2－4)，
当直线MP⊥l时，|MP|min＝eq \r(5)，|PA|min＝1，
此时|MP|·|AB|最小．
易知直线MP的方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,2x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0.))
所以以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0，
两圆的方程相减可得：2x＋y＋1＝0，
即为直线AB的方程．故选D.
4．(2018·全国卷Ⅲ·考查距离问题、直线与圆的位置关系)
直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则 △ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，
可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)－r＝eq \r(2).
由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，
所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 求圆的方程
[典例] (1)(2021·海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为_______________________________________________________．
[解析] (1)到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.
(2)法一：几何法
∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，
∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
∴d2＋(eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，
∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法二：待定系数法
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，
∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
法三：待定系数法
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
[答案] (1)C (2)x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
[方法技巧]
1．求圆的方程的2种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[针对训练]
1．(2021·福州模拟)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6，则圆C的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x－1)2＋(y－2)2＝36
C．(x－1)2＋(y－2)2＝16 D．(x－1)2＋(y－2)2＝49
解析：选A 圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1,2)到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|3－8－15|,5)＝4，又|AB|＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选A.
2．(2021·唐山模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．
解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝3eq \r(2)，由两圆相外切可得R＋2eq \r(2)＝d＝3eq \r(2)，∴R＝eq \r(2).∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
题型二 弦长问题
[典例] (1)(2021·河北七校联考)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝ 3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4eq \r(6) B．2eq \r(6)
C．6 D．5
(2)过点(1,1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为__________．
[解析] (1)因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0,0)，半径为r＝2eq \r(3)，圆心O到直线l的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3)，所以直线l被圆O所截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2\r(3)2－\r(3)2)＝6，故选C.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，但|AB|≠4，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)．
由|AB|＝4，得eq \f(|k－2|,\r(1＋k2))＝eq \r(5)，解得k＝－eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
[答案] (1)C (2)x＋2y－3＝0
[方法技巧] 解决有关弦长问题的常用方法及结论
[针对训练]
1．(2021·烟台模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝3及直线l：ax＋y－2a－2＝0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
解析：由l：ax＋y－2a－2＝0得a(x－2)＋y－2＝0，
∴不论a取何值，直线l恒过点P(2,2)．
∵12＋12＝24，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，
解得k＝eq \f(3,4).所以切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)，
所以过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
[方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
[提醒] 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况．
[针对训练]
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
解析：选A 设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为eq \r(5)，所以eq \f(|m|,\r(5))＝eq \r(5)，|m|＝5.故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，eq \r(3))处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选D 圆x2＋y2＝4在点(－1，eq \r(3))处的切线为l：－x＋eq \r(3)y＝4，即l：x－eq \r(3)y＋4＝0，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l：x－eq \r(3)y＋4＝0的距离d＝eq \f(|2－0＋4|,\r(1＋3))＝3，∴点P到直线l的距离的最小值等于d－1＝3－1＝2.故选D.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的圆的方程是( )
A．(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝4 B．(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4
解析：选D 设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(a，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq \r(3)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4.故选D.
2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：选A ∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，
∴其方程为：eq \f(y＋2,x－1)＝eq \f(1＋2,2－1)，
整理，得3x－y－5＝0.故选A.
3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有eq \f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，∴k＝－eq \f(5,12).
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1
C.eq \r(3) D．±eq \r(3)
解析：选D 根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝eq \r(3)，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝eq \f(3,2)，则有eq \f(|3|,\r(1＋a2))＝eq \f(3,2)，解得a＝±eq \r(3).
5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，则b的值为( )
A．－2或2 B．2或4eq \r(3)＋2
C．－2或4eq \r(3)＋2 D．－4eq \r(3)－2或2
解析：选D 由圆(x－2)2＋y2＝1，
可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，
设圆心(2,0)到直线y＝eq \r(3)x＋b的距离为d，
则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，所以d－r＝eq \r(3)，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\r(3)＋b)),\r(3＋1))－1＝eq \r(3)，解得b＝2或b＝－4eq \r(3)－2，故选D.
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选AC 由题意知C(－2,1)，圆C的半径为eq \r(2)，
则eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，
则直线l的方程为y＝±x＋1.
D(2,0)，圆D的半径为r＝eq \r(3)，
k＝1时，D到直线l的距离为eq \f(|2＋1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)>eq \r(3)，相离；
k＝－1时，D到直线l的距离为eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)0)，则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，所以m2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)，
解得m＝eq \f(5,2)，
所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1)，,y1y2＝\f(－3,t2＋1，)))
则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)
＝eq \f(2ty1y2－3y1＋y2,ty1－3ty2－3)＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),ty1－3ty2－3)＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．常规
角度
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题
2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题
创新
角度
与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证