湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷（原卷版）

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
2. 若复数满足，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知向量，且，则等于（ ）
A. 5B. C. D.
4. 若，，则（ ）
A B. C. D.
5. 如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
7. 已知函数和函数的图象相交于三点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足，当时，，则（ ）
A. 为奇函数B. 若，则
C 若，则D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（ ）
A. 该地水稻的平均株高约为B. 该地水稻株高的方差约为100
C. 该地株高超过的水稻约占68.27％D. 该地株高低于的水稻约占99.87％
10 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 图象关于直线对称
C. 的最大值为D. 的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是偶函数，则______．
13. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______.
14. 在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．
（1）求角A；
（2）求的取值范围．
16. 已知椭圆的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程．
17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
18. 已知函数.
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）求证：；
（3）已知恒成立，求的取值范围．
19. 若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
（1）已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
（2）若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
（3）若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．