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    河南省郑州市外国语总校初中部2023-2024学年八年级下学期开学评价考试数学试题(解析版)

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    河南省郑州市外国语总校初中部2023-2024学年八年级下学期开学评价考试数学试题(解析版)

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    这是一份河南省郑州市外国语总校初中部2023-2024学年八年级下学期开学评价考试数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 在中,、、的对边分别为a、b、c,下列条件中,能判定是直角三角形的是( ).
    A. ,,B. ,,
    C ,,D. ,,
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先求出两小边的平方和,再求出最长边的平方,看看是否相等即可.
    【详解】解:A、∵22+32≠42,∴以a、b、c为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
    B、∵22+52≠52,∴以a、b、c为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
    C、∵52+82≠102,∴以a、b、c为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
    D、∵72+242=252,∴以a、b、c为边能组成直角三角形,故本选项符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,注意:如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方,那么这个三角形是直角三角形.
    2. 144的平方根是的数学表达式是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据平方根定义,如果一个数平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.
    【详解】,
    故选C.
    【点睛】本题考查了平方根的的定义,熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
    3. 点与点关于轴对称,则的值是( )
    A. 1B. C. 2023D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称、解一元一次方程,熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征“横坐标相等,纵坐标互为相反数”是解题的关键.
    由题意得到关于m和n的方程,然后求出m和n的值,最后代入求解即可.
    【详解】解:与点关于轴对称,
    解得,.

    故选B.
    4. 下列说法中,正确的是( )
    A. 经过证明为正确的真命题叫做公理
    B. 假命题不是命题
    C. 要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,说明它错误即可
    D. 要证明一个命题是真命题,只要举一个例子,说明它正确即可
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查命题与定理,根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可.
    【详解】解;A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理,故此选项错误;
    B、假命题是不正确的命题,故此选项错误;
    C、要证明一个命题是假命题,只要举一个反例,即举一个具备命题的条件,而不具备命题结论的命题即可,故此项正确;
    D、要证明一个命题是真命题,需要进行推论论证说明它正确,故此项错误;
    故选:C.
    5. 某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划,对 20 位销售员本月的销售量进行了 统计,绘制成如图所示的统计图,则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数 分别是(单位:辆)( )
    A. 18.4,16,16B. 18.4,20,16
    C. 19, 16,16D. 19, 20,16
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据扇形统计图给出的数据,先求出销售各辆的人数,再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可.
    【详解】解:根据题意得:
    销售16辆的人数是:20×40%=8(人),
    销售28辆的人数是:20×15%=3(人),
    销售14辆的人数是:20×20%=4(人),
    销售20辆的人数是:20×25%=5(人),
    则这20位销售人员本月销售量的平均数是:;
    把这些数从小到大排列,最中间的数是第10、11个数,
    则中位数是:,
    ∵销售16辆的人数最多,
    ∴这组数据的众数是16.
    故选A.
    【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数,用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
    6. 如图,在边长为1的正方形方格中,,,,均为格点,构成图中三条线段,,.现在取出这三条线段,,首尾相连拼三角形.下列判断正确的是( )
    A. 能拼成一个锐角三角形B. 能拼成一个直角三角形
    C. 能拼成一个钝角三角形D. 不能拼成三角形
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据勾股定理分别求出,然后利用勾股定理的逆定理求解即可.
    【详解】解;由题意得:,
    ∴,
    ∴三条线段,,首尾相连拼三角形是直角三角形,
    故选B.
    【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形.
    7. 佳佳坐在匀速行驶的车上,将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下:
    则12:00时看到的两位数是( )
    A. 16B. 25C. 34D. 52
    【答案】A
    【解析】
    【分析】设小明12:00看到的两位数,十位数为x,个位数为y,根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为7,即可列出二元一次方程组,解方程组即可求解.
    【详解】设小明12:00看到的两位数,十位数为x,个位数为y,
    由题意列方程组得:,
    解得:,
    ∴12:00时看到的两位数是16.
    故选:A.
    【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,掌握里程碑上的数的表示是解题的关键.
    8. 如图,中,且,,则的度数( )
    A. 90°B. 110°C. 120°D. 150°
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设∠ABC=α,根据∠AFE=∠AEF,∠CFD=∠CDF推断出∠EFD=90°-α,从而得到方程,求解即可得到结论.
    【详解】解:设∠ABC=α,
    ∴∠A+∠C=180°-α,
    ∵∠AFE=∠AEF,∠CFD=∠CDF,
    ∴∠A+2∠AFE=180°①,∠C+2∠CFD=180°②,
    ①+②得:∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°,
    ∴2∠AFE+2∠CFD=360°-(180°-α)=180°+α,
    ∴∠AFE+∠CFD=90°+α,
    ∴∠EFD=180°-(∠AFE+∠CFD)=180°-(90°+α)=90°-α,
    ∵∠EFD=30°,
    ∴90°-α=30°,
    ∴α=120°,
    ∴∠ABC的度数为120°,
    故选:C.
    【点睛】本题考查三角形内角和定理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
    9. 如图,正四棱柱的底面边长为10cm,侧棱长为16cm,一只蚂蚁从点A出发,沿棱柱侧面到点C′处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )cm
    A. 8B. 4C. 2D. 12
    【答案】B
    【解析】
    【分析】把正四棱柱展开为平面图形,分两种情形求出路径,比较即可解答.
    【详解】解:把正四棱柱展开为平面图形,分两种情形:
    如图1中,,
    如图2中,,
    ∵ ,
    ∴爬行的最短路径是cm.
    故选B
    【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题,涉及了勾股定理的应用,解题的关键是将问题进行转化,然后根据勾股定理求解.
    10. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,家到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.他从家出发匀速步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校,设吴老师离公园的距离为y(单位:m),所用时间为x(单位:min),则下列表示y与x之间函数关系的图象中,正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断.
    【详解】解:吴老师家出发匀速步行8min到公园,表示从(0,400)运动到(8,0);
    在公园,停留4min,然后匀速步行6min到学校,表示从(12,0)运动到(18,600);
    故选:C.
    【点睛】本题考查函数的图象,解题的关键是正确理解函数图象表示的意义,明白各个过程对应的函数图象.
    二、填空题(每小题3分,共15分)
    11. 在这7个数中,无理数共有______个.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】本题主要考查无理数的定义,熟练掌握无理数的定义是解题的关键.根据无理数即无限不循环小数,即可得到答案.
    【详解】解:在这7个数中,无理数有,共有2个.
    故答案为:2.
    12. 不等式的正整数解是__.
    【答案】1,2,3,4,5,6
    【解析】
    【分析】本题考查解一元一次不等式,掌握不等式的解法是解题的关键.
    首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
    【详解】解:根据不等式的基本性质,得,
    不等式,



    所以不等式的正整数解是:1,2,3,4,5.
    故答案为1,2,3,4,5.
    13. 如图,直线,一块∠B=60°的直角三角板ABC按如图所示放置,若∠1=70°,则∠2的度数为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据平行线的性质,先求出,的度数,再利用三角形内角和求出.
    【详解】
    如图,
    ∵,
    ∴,


    ∴.
    【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质,准确计算是解题的关键.
    14. 一组从小到大排列的数据:,3,5,5,6(为正整数),唯一的众数是5,则该组数据的平均数是______.
    【答案】4或
    【解析】
    【分析】本题主要考查众数的定义以及平均数的定义,熟练掌握定义是解题的关键.根据题意得到或2,计算即可.
    【详解】解:数据:(为正整数),唯一的众数是5,
    或2,
    当时,平均数为;
    当时,平均数为;
    故答案为:4或.
    15. 如图是“赵爽弦图”,,,和是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果,且.那么AH等于________.
    【答案】6
    【解析】
    【分析】根据题意设,则可得,,即可得,由勾股定理列方程求出x的值即可得出结论.
    详解】解:∵
    ∴设,则,,
    ,,和是四个全等直角三角形,

    在中,,

    解得:.

    故答案为:6.
    【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,熟练运用勾股定理是解答此题的关键.
    三、解答题(共55分)
    16. 计算:
    (1)
    (2)
    【答案】(1)17 (2)
    【解析】
    【分析】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.
    (1)先运用二次根式乘除法则进行计算,再进行相减即可;
    (2)利用平方差公式和完全平方公式计算.
    【小问1详解】
    原式
    【小问2详解】
    原式
    17. 解不等式组,并在数轴上表示此不等式组的解集.
    【答案】图见详解,;
    【解析】
    【分析】本题考查解不等式组,分别解不等式①和②,再根据同大取大,同小取小,相交取中间,相背无解即可得到答案;
    【详解】解:解不等式①得,

    解不等式②得,

    在数轴上表示如下,

    ∴不等式组的解集为:.
    18. 完成下面的证明.
    已知:如图,,,分别是,的平分线,求证:.

    证明:∵(已知),
    ∴( )
    ∴ ( )
    ∵,分别是,的平分线(已知)
    ∴ ,( )

    ∴( ).
    【答案】内错角相等,两直线平行;4;两直线平行,同位角相等;3;角平分线的意义;同位角相等,两直线平行
    【解析】
    【分析】由平行线的判定得,依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到,进而可判定.
    【详解】证明:∵(已知),
    ∴(内错角相等,两直线平行).
    ∴(两直线平行,同位角相等).
    ∵,分别是,的平分线(已知)
    ∴,(角平分线的意义).

    ∴(同位角相等,两直线平行).
    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系;平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
    19. 在五一期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,小明与他爸爸的对话(如图),试根据图中的信息,解答下列问题:

    (1)小明他们一共去了几个成人,几个学生?
    (2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?并说明理由.
    【答案】(1)8个成人,4个学生
    (2)购团体票更省钱,理由见解析
    【解析】
    【分析】(1)设成人人数为,则学生人数为,根据总费用成人票价人数学生票价人数,即可得出关于的一元一次方程,解之即可得出结论;
    (2)求出购买16张团体票的总钱数,与350比较后即可得出结论.
    小问1详解】
    解:设成人人数为,则学生人数为,
    根据题意得:,
    解得:,

    答:小明他们一共去了8个成人,4个学生.
    【小问2详解】
    如果买团体票,按16人计算,共需费用:(元),

    购团体票更省钱.
    答:购团体票更省钱.
    【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用.
    20. 如图,某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处,在三个城镇中心之间铺设通信光缆,以城镇A为出发点设计了三种连接方案:
    (1);
    (2)(D为的中点);
    (3)(O为三边的垂直平分线的交点).
    要使铺设的光缆长度最短,应选哪种方案?
    【答案】应选方案(3)
    【解析】
    【分析】根据题意设等边三角形的边长为,分别计算三种方案的各线段的和,进而求得铺设的光缆长度最短的方案.
    【详解】解:设等边三角形边长为,如图(1),方案(1);
    则铺设的光缆长度为;
    如图(2),方案(2)中,
    D为的中点,为等边三角形

    在中
    则铺设的光缆长度为;
    如图(3),方案(3)中,
    O为三边的垂直平分线的交点,



    设,


    解得,

    则铺设的光缆长度为,

    要使铺设的光缆长度最短,应选方案(3).
    【点睛】本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.
    21. 定义:若点M、N把线段分割成和,若以为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段的勾股分割点.
    (1)已知点M、N是线段的勾股分割点,,,若,,则________.
    拓展研究:
    (2)如图,在等腰中,,,M、N为直线上两点,满足.
    ①如图2,点M、N在线段上,求证:点M、N是线段的勾股分割点;
    ②如图3,若点M在线段上,点N在线段的延长线上,,则______.
    【答案】(1)5 (2)①见解析;②2
    【解析】
    【分析】(1)根据勾股分割点的定义得,,代入计算即可;
    (2)①将绕点C逆时针旋转得到,连接,利用证明,得,即可证明结论;
    ②将绕点C逆时针旋转得到,连接,由①同理可证,得,从而有,代入数据求解,从而得出答案.
    【小问1详解】
    解:∵以为边的三角形是一个直角三角形,,,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故答案为:5;
    【小问2详解】
    ①证明:∵,,
    ∴,
    将绕点C逆时针旋转得到,连接,
    ∴,,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴点M,N是线段的勾股分割点;
    解:将绕点C逆时针旋转得到,连接,
    ∴,,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:2.
    【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了旋转的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理等知识,读懂题意,利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键.
    时刻
    12:00
    13:00
    14:00
    里程碑上的数
    是一个两位数,数字之和为7
    十位数字和个位数字与12:00时看到的刚好相反
    比12:00看到的两位数中间多了个0

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