新高考数学一轮复习学案第4章阅读与欣赏(三)构造法解决抽象函数问题（含解析）

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在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度．下面总结其基本类型及其处理方法．
类型一 只含f(x)型
定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)eq \f(x2＋1,2)的解集为( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－1，1)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,2)x＋c(c为常数)，则g′(x)eq \f(x2＋1,2)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)，
即f(x2)－eq \f(1,2)x2＋c>eq \f(1,2)＋c，即g(x2)>g(1)，
即x2eq \f(f（0）,e0)⇔e2 015f(－2 015)>f(0)；同理，h(2 015)1，记a＝eq \f(4mf（m＋1）,m＋1)，b＝2eq \r(m)f(2eq \r(m))，c＝(m＋1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4m,m＋1)))，则a，b，c的大小关系为( )
A．ac
C．bc
(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )
A．f(x)>0 B．f(x)x D．f(x)eq \f(4m,m＋1).
所以g(m＋1)0；
②当xx2，得f(x)>0.
综上，对任意x∈R，有f(x)>0，应选A．
【答案】 (1)A (2)A
eq \a\vs4\al()
(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0型，构造F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝xn－1[xf′(x)＋nf(x)](注意对xn－1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)＋f(x)>0，构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0；
(2)对于xf′(x)－nf(x)>0型，且x≠0，构造F(x)＝eq \f(f（x）,xn)，则F′(x)＝eq \f(xf′（x）－nf（x）,xn＋1)(亦需注意对xn＋1的符号进行讨论)，特别地，当n＝1时，xf′(x)－f(x)>0，构造F(x)＝eq \f(f（x）,x)，则F′(x)＝eq \f(xf′（x）－f（x）,x2)>0.
类型四 含f(x)±f′(x)tan x型
已知函数f(x)的导函数f′(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f′(x)sin 2x