新高考数学一轮复习学案第5章第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第5章第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（含解析），共18页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
二、教材衍化
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，4π，eq \f(π,3) B．2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3)
C．2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3) D．2，4π，－eq \f(π,3)
解析：选C．由题意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相为－eq \f(π,3).
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．
解析：根据函数图象变换法则可得．
答案：y＝sineq \f(1,2)x
3．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋φ))＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＋6，结合表中数据得eq \f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6＝6－cs eq \f(π,2)x.
答案：y＝6－cs eq \f(π,2)x
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.( )
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．( )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( )
(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( )
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；
(2)确定不了函数解析式中φ的值．
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
解析：设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知，eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)＋φ))＝0(增区间上的零点)可知，eq \f(π,6)＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
又|φ|＜eq \f(π,2)，故φ＝－eq \f(π,6).
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
考点一 五点法作图及图象变换(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能画出y＝sin x，y＝cs x，y＝tan x的图象．
核心素养：直观想象
已知函数f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】 (1)f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a
＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＋1＋a
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，列表：
画图如下：
【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y＝2cs 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
解析：将函数y＝2cs 2x的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的图象，综上可得，函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象可以由函数y＝2cs 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到．
答案：eq \f(π,6)
【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋eq \f(π,6)]＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m－\f(π,6)))))是偶函数，所以2m－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)(2k＋1)，k∈Z，m＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为eq \f(π,3).
eq \a\vs4\al()
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．
1．(2020·广州市调研测试)由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,12))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12x－\f(π,6)))
解析：选A．由y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋2π－\f(π,6)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,6)))的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))，选A．
2．(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x，将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))的值为________．
解析：由题知函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，
可得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)－\f(π,3)))＝2sin 2x的图象，
再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
则T＝eq \f(2π,2)＝π，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)))＋1＝3.
答案：π 3
考点二 求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
核心素养：直观想象
(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) B．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
【解析】 根据题图有A＝1，eq \f(3,4)T＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,12)＝eq \f(3π,4)⇒T＝π＝eq \f(2π,ω)⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)＋φ))＝1⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1⇒eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z⇒φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，将f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))
＝sin 2x.故选C．
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)．
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)