新高考数学一轮复习学案第5章第6讲 正弦定理和余弦定理（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第5章第6讲 正弦定理和余弦定理（含解析），共16页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
[注意] 上表中A为锐角时，aA为钝角或直角时，a＝b，a常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C．
(2)cs(A＋B)＝－cs C．
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B．
二、教材衍化
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选C．因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝eq \f(2π,3).故选C．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于________．
解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(c2＋16－12,2×4×c)＝eq \f(1,2)，解得c＝2.所以S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×2×sin 60°＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B．( )
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见,误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝________．
解析：由题意：eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，即sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(\r(2),2)，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝eq \f(3,2)a＝3.
由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
得－eq \f(1,4)＝eq \f(22＋32－c2,2×2×3)，解得c＝4.
答案：4
考点一 利用正、余弦定理解三角形(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，能正确地解决问题．
核心素养：数学运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcs A．
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
【解】 (1)选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，得eq \f(b,c)＝6.故选A．
(2)①由2c＋a＝2bcs A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝2sin Bcs A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以2sin Acs B＋sin A＝0，
因为sin A≠0，所以cs B＝－eq \f(1,2)，
因为0＜B＜π，所以B＝eq \f(2π,3).
②由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a·ccs∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝eq \f(7,2).
因为cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(49＋9－25,2×7×3)＝eq \f(11,14)，
所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcs∠BAC＝9＋eq \f(49,4)－2×3×eq \f(7,2)×eq \f(11,14)＝eq \f(19,4)，
所以BD＝eq \f(\r(19),2).
eq \a\vs4\al()
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：选B．法一：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
因为B为锐角，所以B＝60°，
则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B．
法二：由a2＝b2＋c2－2bccs A，
得c2－3c＋2＝0，
解得c＝1或c＝2.
当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，
当c＝2时，a2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( )
A．eq \f(8\r(2),3) B．eq \f(14\r(3),3)
C．eq \f(7,3) D．eq \f(7\r(3),3)
解析：选D．因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccs A＝64＋9－2×8×3×eq \f(1,2)＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(7,\f(\r(3),2))＝eq \f(14\r(3),3)，所以R＝eq \f(7\r(3),3)，故选D．
3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求C．
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.
考点二 判断三角形的形状(综合型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))利用正、余弦定理判断三角形形状的常用结论
1．若a＝b或(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC为等腰三角形．
2．若a2＋b2＝c2，则△ABC为以C为直角的直角三角形；
3．若a2＋b2>c2，则△ABC中角C为锐角；
若a2＋b24．若(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
5．若a＝b且a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰直角三角形；
6．若sin 2A＝sin 2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为________．
【解析】 (1)法一：因为bcs C＋ccs B＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(2a2,2a)＝a，所以asin A＝a即sin A＝1，故A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcs C＋ccs B＝asin A，
所以sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝eq \f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为c－acs B＝(2a－b)cs A，所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以sin(A＋B)－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，
故cs A(sin B－sin A)＝0，
所以cs A＝0或sin A＝sin B，
即A＝eq \f(π,2)或A＝B，
故△ABC为等腰或直角三角形．
【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acs B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
解：法一：由已知得2sin Acs B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π法二：由正弦定理得2acs B＝c，再由余弦定理得
2a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，
故△ABC为等腰三角形．
eq \a\vs4\al()
判定三角形形状的两种常用途径
[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
解析：选B．因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cs C＝eq \f(9t2＋25t2－49t2,2×3t×5t)＝－eq \f(1,2)，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B．
2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C．在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，因为sin Bsin C＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，解得b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形，故选C．
考点三 与三角形面积有关的问题(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能利用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
核心素养：数学运算
角度一 计算三角形的面积
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________．
(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，且acsin B＝2eq \r(3)sin C，则△ABC的面积为________．
【解析】 (1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
(2)因为a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，所以由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3)ab,2ab)＝eq \f(\r(3),2)，又0＜C＜π，所以C＝eq \f(π,6).因为acsin B＝2eq \r(3)sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2eq \r(3)c，所以ab＝2eq \r(3).故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)sineq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
【答案】 (1)6eq \r(3) (2)eq \f(\r(3),2)
eq \a\vs4\al()
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二 已知三角形的面积解三角形
现给你三个条件．
①tan A＋tan C＝eq \f(2sin B,cs A).②b＝eq \r(2)sin B．③c＝eq \f(\r(6),2).
请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为eq \f(3\r(3),8)，求a.
【解】 若选①，由tan A＋tan C＝eq \f(2sin B,cs A)得eq \f(sin（A＋C）,cs Acs C)＝eq \f(2sin B,cs A).
而sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B>0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，又C∈(0，π)．所以C＝eq \f(π,3).
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C．
＝a2＋b2－ab≥ab.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C≤eq \f(1,2)c2·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)c2.
当且仅当a＝b时，取等号．
由题意得eq \f(\r(3),4)c2＝eq \f(3\r(3),8).所以c＝eq \f(\r(6),2).此时，a＝b＝c＝eq \f(\r(6),2).
若选②，b＝eq \r(2)sin B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B．
2sin2 B＝a2＋c2－2accs B≥2ac(1－cs B)，
所以ac≤eq \f(sin2 B,1－cs B)＝1＋cs B．所以S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(1,2)·(1＋cs B)sin B．当且仅当a＝c时取等号．
由题意得eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs B))sin B＝eq \f(3\r(3),8).
(1＋cs B)sin B－eq \f(3\r(3),4)＝0
令f(B)＝sin B＋sin Bcs B－eq \f(3\r(3),4)，B∈(0，π)．
f′(B)＝cs B＋cs2 B－sin2B＝2cs2 B＋cs B－1
＝(cs B＋1)(2cs B－1)，
f′(B)＝0时，B＝eq \f(π,3).
f′(B)<0时，eq \f(π,3)f′(B)>0时，0即f(B)＝sin B＋sin Bcs B－eq \f(3\r(3),4)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增．
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上单调递减，所以f(B)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝0.
即f(B)仅有一个零点B＝eq \f(π,3).
即方程(1＋cs B)sin B－eq \f(3\r(3),4)＝0，有B＝eq \f(π,3).
所以b＝eq \r(2)sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(6),2)，a＝c＝eq \r(1＋cs \f(π,3))＝eq \f(\r(6),2).
若选③，c＝eq \f(\r(6),2).
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C．
所以eq \f(3,2)≥2ab(1－cs C)．所以ab≤eq \f(3,4（1－cs C）).
当且仅当a＝b时取等号，S△ABC＝eq \f(1,2)absin C≤eq \f(3sin C,8（1－cs C）).
由题意得，eq \f(3sin C,8（1－cs C）)＝eq \f(3\r(3),8).
即sin C＋eq \r(3)cs C＝eq \r(3).所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
由于eq \f(π,3)所以C＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).所以C＝eq \f(π,3).
所以a＝b＝eq \r(\f(3,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－cs \f(π,3)))))＝eq \f(\r(6),2).
eq \a\vs4\al()
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，cs A＝eq \f(2\r(5),5)，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(5,2) B．5
C．10 D．eq \f(\r(10),2)
解析：选A．由AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(10)，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcs A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(5),5)，故S△ABC＝eq \f(1,2)×5×eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2).选A．
2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csineq \f(B＋C,2).
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为eq \r(3)，周长为8，求a.
解：(1)由题设得asin C＝ccseq \f(A,2)，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccseq \f(A,2)，
所以sin A＝cs eq \f(A,2)，
所以2sineq \f(A,2)cseq \f(A,2)＝cseq \f(A,2)，所以sineq \f(A,2)＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°.
(2)由题设得eq \f(1,2)bcsin A＝eq \r(3)，从而bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a2＝(b＋c)2－12.
又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝eq \f(13,4).
[基础题组练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且bA．3 B．2eq \r(2)
C．2 D．eq \r(3)
解析：选C．由余弦定理b2＋c2－2bccs A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(7)，c＝4，cs A＝eq \f(\r(7),4)，则△ABC的面积等于( )
A．3eq \r(7) B．eq \f(3\r(7),2)
C．9 D．eq \f(9,2)
解析：选B．因为cs A＝eq \f(\r(7),4)，则sin A＝eq \f(3,4)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×bcsin A＝eq \f(3\r(7),2)，故选B．
3．在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B．eq \r(7)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
解析：选D．由S＝eq \f(1,2)absin C＝2a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12，故c＝2eq \r(3).
4．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝eq \r(2)sin B，则其最小内角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(5\r(2),8) D．eq \f(3,4)
解析：选C．由sin C＝eq \r(2)sin B及正弦定理，得c＝eq \r(2)b.又b2＝ac，所以b＝eq \r(2)a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（\r(2)a）2＋（2a）2－a2,2·\r(2)a·2a)＝eq \f(5\r(2),8)，故选C．
5．(多选)(2021·预测)下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析：选ABD．对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accs B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b>c，则eq \f(b,c)＝________．
解析：由acs B－c－eq \f(b,2)＝0及正弦定理可得
sin AcsB－sin C－eq \f(sin B,2)＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，所以－eq \f(sin B,2)－cs A·sin B＝0，所以cs A＝－eq \f(1,2)，即A＝eq \f(2π,3).由余弦定理得a2＝eq \f(7,2)bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以eq \f(b,c)＝2.
答案：2
7．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，AC＝eq \r(3)，且cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，则C＝________，BC＝________．
解析：由cs2C－cs2A－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－eq \r(2)sin Bsin
C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－eq \r(2)·AC·AB，所以cs A＝eq \f(\r(2),2)，A＝eq \f(π,4)，则C＝π－A－B＝eq \f(5π,12).由eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，解得BC＝eq \r(2).
答案：eq \f(5π,12) eq \r(2)
8．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcs A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(5)，b＝2，求边c的长．
解：(1)因为asin B＋bcs A＝0，
所以sin Asin B＋sin Bcs A＝0，
即sin B(sin A＋cs A)＝0，
由于B为三角形的内角，
所以sin A＋cs A＝0，
所以eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))＝0，而A为三角形的内角，
所以A＝eq \f(3π,4).
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcs A，即20＝c2＋4－4ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))，解得c＝－4eq \r(2)(舍去)或c＝2eq \r(2).
9．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，eq \r(3)sin Acs C＝2sin Bcs A－eq \r(3)sin Ccs A，
从而eq \r(3)sin(A＋C)＝2sin Bcs A，
即eq \r(3)sin B＝2sin Bcs A．
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cs A＝eq \f(\r(3),2)，
又A为三角形的内角，所以A＝eq \f(π,6).
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)，故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
[综合题组练]
1．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acs C＋eq \f(1,2)c，则角A等于( )
A．60° B．120°
C．45° D．135°
解析：选A．法一：由b＝acs C＋eq \f(1,2)c及正弦定理，可得sin B＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，即sin(A＋C)＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，即sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C＋eq \f(1,2)sin C，所以cs Asin C＝eq \f(1,2)sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cs A＝eq \f(1,2)，所以A＝60°，故选A．
法二：由b＝acs C＋eq \f(1,2)c及余弦定理，可得b＝a·eq \f(b2＋a2－c2,2ab)＋eq \f(1,2)c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，所以A＝60°，故选A．
2．(2020·福建漳州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acs A＝bcs C＋ccs B，b＋c＝3，则a的最小值为( )
A．1 B．eq \r(3)
C．2 D．3
解析：选B．在△ABC中，因为3acs A＝bcs C＋ccs B，
所以3sin Acs A＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin(B＋C)＝sin A，
即3sin Acs A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cs A＝eq \f(1,3).
因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤eq \f(9,4)，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccs A，可得a2＝b2＋c2－eq \f(2,3)bc＝(b＋c)2－eq \f(8bc,3)≥9－eq \f(8,3)×eq \f(9,4)＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为eq \r(3).故选B．
3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为________．
解析：由cs B＝eq \f(1,3)，得sin B＝eq \f(2\r(2),3)，由三角形面积公式可得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)ac·eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2)，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accs B，可得16＝a2＋c2－2×12×eq \f(1,3)，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2eq \r(3)，所以△ABC的周长为4eq \r(3)＋4.
答案：4eq \r(3)＋4
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，a＝2eq \r(3).若b∈[1，3]，则c的最小值为________．
解析：由eq \f(asin A＋bsin B－csin C,sin Bsin C)＝eq \f(2\r(3),3)a，得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),3)sin
C．由余弦定理可知cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，即3cs C＝eq \r(3)sin C，所以tan C＝eq \r(3)，故cs C＝eq \f(1,2)，所以c2＝b2－2eq \r(3)b＋12＝(b－eq \r(3))2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝eq \r(3)时，c取最小值3.
答案：3
5．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A．
(1)求cs B的值；
(2)若a＝2，cs C＝－eq \f(\r(17),17)，求△ABC外接圆的半径R.
解：(1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－a))cs B＝bcs A，
所以结合正弦定理，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)sin C－sin A))cs B＝sin Bcs A，
所以eq \f(5,3)sin Ccs B＝sin(A＋B)＝sin
C．又因为sin C≠0，所以cs B＝eq \f(3,5).
(2)由(1)知，sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4,5).
因为cs C＝－eq \f(\r(17),17)，
所以sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(4\r(17),17)，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),17)))＋eq \f(3,5)×eq \f(4\r(17),17)＝eq \f(8\r(17),85)，
所以R＝eq \f(1,2)·eq \f(a,sin A)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\f(8\r(17),85))＝eq \f(5\r(17),8).
6．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
解：(1)因为S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),2)accs B，
所以tan B＝eq \r(3).
又0＜B＜π，所以B＝eq \f(π,3).
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cs 60°＝28，所以b＝2eq \r(7).
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（2\r(7)）2＋22－62,2×2×2\r(7))＝－eq \f(\r(7),14).
因为D是AC的中点，所以AD＝eq \r(7).
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A＝22＋(eq \r(7))2－2×2×eq \r(7)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝13.
所以BD＝eq \r(13).
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解