新高考数学一轮复习学案第9章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第9章第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析），共14页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0)．
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f(1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))eq \s\up12(2).
二、教材衍化
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案：B
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案：eq \r(10)
3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案：内切
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；
(2)忽视切线斜率k不存在的情形．
1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
解析：两圆的圆心距d＝eq \r((－4)2＋a2)，由两圆相切(外切或内切)，得eq \r((－4)2＋a2)＝5＋1或eq \r((－4)2＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0
2．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以eq \f(|k×0－0＋1－3k|,\r(k2＋(－1)2))＝3，所以k＝－eq \f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
考点一 直线与圆的位置关系(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
核心素养：逻辑推理，数学运算
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＜1，
所以直线与圆相交．
(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq \f(2,\r(k2＋1))，
直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，
即eq \f(2,\r(k2＋1))＞1，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
【答案】 (1)B (2)k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，
所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，
则直线与圆O相切．
eq \a\vs4\al()
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ＜0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ＞0，那么直线与圆相交．
1．(一题多解)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定，与m的取值有关
解析：选A．法一：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋(y－1)2＝5，))消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，
所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq \r(5)，故直线l与圆相交．
法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
2．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(eq \r(2)＋1，＋∞) B．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
C．(0，eq \r(2)－1) D．(0，eq \r(2)＋1)
解析：选A．计算得圆心到直线l的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离eq \r(2)＋1.故选A．
考点二 圆的切线、弦长问题(综合型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
核心素养：直观想象、数学运算
角度一 圆的切线问题
(1)2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
(2)(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
【解析】 (1)设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即eq \f(|4＋m|,5)＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确，故选B．
(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq \r((－2－0)2＋(－1＋2)2)＝eq \r(5).
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq \f(m＋1,0－(－2))×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq \r((－2－0)2＋(－1＋2)2)＝eq \r(5).
【答案】 (1)B (2)－2 eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0)．
角度二 圆的弦长问题
(1)(一题多解)(2020·安徽合肥调研)已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦长为2eq \r(2)，则圆C的半径r＝( )
A．eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝eq \r(3)x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
A．eq \r(3) B．1
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
【解析】 (1)法一：圆C的圆心为(2，1)，圆心到直线l的距离d＝eq \f(|2＋1－5|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，又弦长为2eq \r(2)，所以2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2)，所以r＝2，故选B．
法二：联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0，,(x－2)2＋(y－1)2＝r2，))整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝eq \f(20－r2,2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(2)×eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(2)×eq \r(36－2(20－r2))＝2eq \r(2)，解得r＝2.
(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝eq \r(3)x的距离d1＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，
所以l1被圆C所截得的弦长为2eq \r(4－3)＝2.圆心到直线l2的距离d2＝eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))，
所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2eq \r(4－deq \\al(2,2))，
所以d2＝0.
所以2k－1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，故选C．
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al()
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2)；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
解析：选A．设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝eq \f(|c|,\r(5))＝eq \r(5)，c＝±5，所以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：设圆心为C(3，0)，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝(eq \r(|PC|2－1))min＝eq \r(|PC|eq \\al(2,min)－1)，又|PC|min＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋(－1)2))＝2eq \r(2)，所以|PN|min＝eq \r(7).
答案：eq \r(7)
3．(2020·山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为________，|AB|＝________．
解析：圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d＝eq \r(5)，圆的半径r＝3，则|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝4.
答案：2x－y－1＝0 4
考点三 圆与圆的位置关系(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．
核心素养：逻辑推理、数学运算
已知两圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解】 因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝9，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为3，eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，由eq \r((5－1)2＋(6－3)2)＝3＋eq \r(61－m)，得m＝57.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径3小于两圆圆心之间的距离5，所以eq \r(61－m)－3＝5，解得m＝－3.
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为2 eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－22|,\r(42＋32))))\s\up12(2))＝eq \f(24,5).
eq \a\vs4\al()
圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由两圆的圆心距d与半径R，r(R＞r)的关系来判断．d＞R＋r⇔外离；d＝R＋r⇔外切；R－r＜d＜R＋r⇔相交；d＝R－r⇔内切；d＜R－r⇔内含．
(2)代数法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
对于方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R＋r，R－r的关系．
1．(2020·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A．{1，－1，3，－3} B．{5，－5，3，－3}
C．{1，－1} D．{3，－3}
解析：选A．圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1，3，－3.故选A．
2．(2020·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________，圆C被x轴截得的弦长为________．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3eq \r(2).由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4eq \r(2)，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×eq \r((4\r(2))2－42)＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
[基础题组练]
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：选B．圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以两圆相交．
2．(2020·陕西榆林二校联考)圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直线x＋y－3＝0所得弦长为2，则实数a等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D．由题知，圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圆心为(－2，1)，半径为eq \r(5－a)，又圆心到直线的距离为eq \f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以2eq \r((\r(5－a))2－(2\r(2))2)＝2，解得a＝－4.
3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B．直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为eq \r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B．
4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，半径是2eq \r(2)，结合图形可知有3个符合条件的点．
5．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k＞0)关于y轴对称，则k的最小值为( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
解析：选D．由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为eq \f(1＋3,2)＝2，
又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，
则圆心的横坐标x＝eq \r(22－(\f(3－1,2))2)＝eq \r(3)，
即圆心为(eq \r(3)，2)，
所以圆C的方程为(x－eq \r(3))2＋(y－2)2＝4.
因为k＞0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，
可得2＝eq \f(|\r(3)k＋2|,\r(k2＋1))，
即k2－4eq \r(3)k＝0，解得k＝4eq \r(3)(k＝0舍去)，故选D．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为________．
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－eq \r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq \r(3)＝0，所以eq \f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(\r(3),3).所以切线方程为y－eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq \r(3)y＋2＝0.
答案：x－eq \r(3)y＋2＝0
7．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．
解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：6
8．P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为________．
解析：连接OP，OA，OB，
则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·eq \r(|OP|2－|OA|2)＝eq \r(|OP|2－1).
而|OP|的最小值为|OP|min＝eq \f(2,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
所以(S四边形OAPB)min＝1.
答案：1
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则eq \r((a－2)2＋(－2a＋1)2)＝eq \f(|a－2a－1|,\r(2))，化简，
得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C(1，－2)，半径|AC|＝eq \r((1－2)2＋(－2＋1)2)＝eq \r(2).
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，故△POM的面积为eq \f(16,5).
[综合题组练]
1．(2020·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )
A．3 B．4
C．2eq \r(3) D．8
解析：选B．连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以|AB|＝2|AC|＝4.
2．(2020·江西南昌NCS项目第一次模拟)已知r＞0，x，y∈R，p：“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)
解析：选A．如图，“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x2＋y2≤r2”表示圆及其内部，易知圆心O(0，0)到直线AD：2x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－2|,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5)，由p是q的必要不充分条件，得0＜r≤eq \f(2\r(5),5)，故选A．
3．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________．
解析：圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1，0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，因为CP的斜率kCP＝eq \f(\f(\r(3),2)－0,\f(3,2)－1)＝eq \r(3)，所以直线AB的斜率为－eq \f(\r(3),3)，所以直线l的方程为y－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即x＋eq \r(3)y－3＝0.此时|CP|＝eq \f(|2|,\r(1＋3))＝1，所以∠ACP＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(2π,3).
答案：x＋eq \r(3)y－3＝0 eq \f(2π,3)
4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．
解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝eq \f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq \f(4,\r(5))，所以圆C的最小半径为eq \f(2,\r(5))，所以圆C面积的最小值为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(5))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,5)π.
答案：eq \f(4,5)π
5．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解：(1)将圆C的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝2，
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx(k≠0)，由直线与圆相切得eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝－2±eq \r(6)，所以切线方程为y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得eq \f(|1＋2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝1或a＝5，所以切线方程为x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
综上，所求的切线方程为y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
即2x1＋4y1－3＝0，即点P在直线l：2x＋4y－3＝0上，
所以|PM|min＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,\r(22＋42))))\s\up12(2)－2)＝eq \f(3\r(5),10).
6.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，
可设圆心的坐标为(m，2)(m＞0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，
所以m2＝4＋(eq \f(3,2))2＝eq \f(25,4)，解得m＝eq \f(5,2)，
所以圆C的方程为(x－eq \f(5,2))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，
当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，
将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，
并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1),y1y2＝\f(－3,t2＋1，)))，
则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)
＝eq \f(2ty1y2－3(y1＋y2),(ty1－3)(ty2－3))＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),(ty1－3)(ty2－3))＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成
方程组的解的情况
外离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解