新高考数学一轮复习学案第9章第5讲 第1课时 椭圆及其性质（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第9章第5讲 第1课时 椭圆及其性质（含解析），共16页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．椭圆的定义
[注意] 若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＞1.
常用结论
椭圆的常用性质
(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为eq \f(2b2,a).
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－eq \f(b2,a2).
(5)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
二、教材衍化
1．椭圆16x2＋25y2＝400的长轴的长________，离心率________．
答案：10 eq \f(3,5)
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是________．
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
3．椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为________，△AF1F2的周长为________．
答案：20 16
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )
(4)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(5)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．
1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________．
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
第1课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及应用(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解圆锥曲线的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．
核心素养：数学抽象
(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．4 D．4eq \r(3)
(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 (1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，
因为OA＝OB，OF＝OF1，
所以四边形AFBF1是平行四边形．
所以|BF|＝|AF1|，
所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C．
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＝4c2，))
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 (1)C (2)3
【迁移探究】 (变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
eq \a\vs4\al()
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D．因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.
2．(2020·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝________．
解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×4sin 60°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq \r(2).
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).
答案：6＋eq \r(2) 6－eq \r(2)
考点二 椭圆的标准方程(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))掌握椭圆的标准方程．
核心素养： 数学运算
(1)(一题多解)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
(2)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．
【解析】 (1)法一(定义法)：椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r((\r(3)－0)2＋(－\r(5)＋4)2)＋eq \r((\r(3)－0)2＋(－\r(5)－4)2)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法二(待定系数法)：
设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k＜9)，
将点(eq \r(3)，－eq \r(5))的坐标代入，可得eq \f((－\r(5))2,25－k)＋eq \f((\r(3))2,9－k)＝1，
解得k＝5或k＝21(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5,a2)＋\f(3,b2)＝1,a2－b2＝16))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝20,b2＝4))，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(2)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
【答案】 (1)C (2)eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1
eq \a\vs4\al()
(1)用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,9)＋y2＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1
C．eq \f(y2,9)＋x2＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选D．由题意有6＞2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.故选D．
2．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的右焦点为(2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为________．
解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2,m)，所以m＝2eq \r(2)，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
3．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶eq \r(3)，则椭圆C的方程是________．
解析：设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2，,a∶b＝2∶\r(3)，,c＝2，))解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
考点三 椭圆的几何性质(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))掌握椭圆的简单几何性质．
核心素养： 数学运算
角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距
(2020·泉州质检)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7
C．6 D．5
【解析】 因为椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＞0，,10－m＞0，,m－2＞10－m，))解得6＜m＜10.
因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
【答案】 A
角度二 求椭圆离心率的值(范围)
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))
【解析】 (1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.故选D．
(2)因为OPMN是平行四边形，
所以MN∥OP且MN＝OP，
故yN＝eq \f(a,2)，代入椭圆方程可得xN＝eq \f(\r(3)b,2)，
所以kON＝eq \f(\r(3)a,3b)＝tan α.又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))，所以eq \f(\r(3),3)＜eq \f(\r(3)a,3b)＜1，
所以a＜eq \r(3)b，a2＜3(a2－c2)，解得0＜eq \f(c,a)＜eq \f(\r(6),3)，故选A．
【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al()
求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
角度三 与椭圆性质有关的最值问题
已知P在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为( )
A．eq \f(\r(218),3) B．eq \f(76,3)
C．5 D．2eq \r(5)
【解析】 设P(x0，y0)，则由题意得x2＝4(1－y2)，
所以|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－4)2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋yeq \\al(2,0)－8y0＋16
＝－3yeq \\al(2,0)－8y0＋20＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(4,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(76,3)，
又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，
即|PA|的最大值为5.故选C．
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
解析：选D．因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝eq \r(b2＋c2)＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
2．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：选C．由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))
＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若|PF|＝eq \f(1,4)|AF|，则椭圆的离心率为________．
解析：因为点P在椭圆上，且PF⊥x轴，所以|PF|＝eq \f(b2,a)，
又因为|AF|＝a＋c，|PF|＝eq \f(1,4)|AF|，所以4(a2－c2)＝a(a＋c)，即4(a－c)＝a，则3a＝4c，即eq \f(c,a)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
[基础题组练]
1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的焦点坐标为( )
A．(±eq \r(3)，0) B．(0，±eq \r(3))
C．(±eq \r(3)，0)或(±eq \r(5)，0) D．(0，±eq \r(3))或(±eq \r(5)，0)
解析：选B．因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1的焦点坐标为(0，±eq \r(3))，故选B．
2．(2019·高考北京卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B．由题意得，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,4)，又a2＝b2＋c2，所以eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,4)，eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以4b2＝3a2.故选B．
3．曲线eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1与曲线eq \f(x2,169－k)＋eq \f(y2,144－k)＝1(k＜144)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D．曲线eq \f(x2,169－k)＋eq \f(y2,144－k)＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．
4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选D．由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，故选D．
5．(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq \f(|AF1|,|AF2|)＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．3
解析：选A．如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝eq \f(a,2)，|AF2|＝eq \f(3a,2).所以eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(1,3).故选A．
6．若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝eq \r(2)c，
故椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
7．(2020·贵阳模拟)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
8．(2020·浙江台州月考改编)已知P为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1上一个动点，直线l过圆(x－1)2＋y2＝1的圆心与圆相交于A，B两点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________，最小值为________．
解析：由(x－1)2＋y2＝1可得圆心O1(1，0)，由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1得椭圆右焦点的坐标为(1，0)．
因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PO1,\s\up6(→))＋eq \(O1A,\s\up6(→)))·(eq \(PO1,\s\up6(→))＋eq \(O1B,\s\up6(→)))＝(eq \(PO1,\s\up6(→))＋eq \(O1A,\s\up6(→)))·(eq \(PO1,\s\up6(→))－eq \(O1A,\s\up6(→)))＝eq \(POeq \\al(2,1),\s\up6(→))－eq \(O1A2,\s\up6(→))＝|eq \(PO1,\s\up6(→))|2－1.因为3－1≤|eq \(PO1,\s\up6(→))|≤3＋1，所以3≤|eq \(PO1,\s\up6(→))|2－1≤15，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为15，最小值为3.
答案：15 3
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以Seq \s\d5(△F1PF2)＝eq \f(1,2)|yP|×2c＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq \r(3))；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝t1或eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－eq \r(3))，所以t1＝eq \f(22,4)＋eq \f((－\r(3))2,3)＝2，或t2＝eq \f((－\r(3))2,4)＋eq \f(22,3)＝eq \f(25,12).
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,(2c)2＝52－32，))
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
[综合题组练]
1．(综合型)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
解析：选B．如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且eq \f(|OF|,|FA|)＝eq \f(|OM|,|AB|)＝eq \f(1,2)，即eq \f(c,a－c)＝eq \f(1,2)，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).故选B．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选B．由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2(eq \f(1,a))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B．
3. (创新型)(2020·江西吉安一模)如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________．
解析：设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为eq \r(2)R，所以椭圆的半焦距为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝eq \f(R,2)，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(R,2),\f(\r(2),2)R)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．
解析：通解：由椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1，得c＝eq \r(a2－b2)＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝eq \r(|F1F2|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|MF2|))\s\up12(2))＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)，所以eq \f(1,2)|MF2|·h＝eq \f(1,2)|F1F2|·yM，即eq \f(1,2)×4×2eq \r(15)＝eq \f(1,2)×8×yM，解得yM＝eq \r(15)，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝eq \f(2,3)xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝eq \r(15)，故点M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
5．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝eq \r(2).故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－eq \f(2y0,x0).又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2
＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2(4－xeq \\al(2,0)),xeq \\al(2,0))＋4＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0＜xeq \\al(2,0)≤4)．因为eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))≥4(0＜xeq \\al(2,0)≤4)，当且仅当xeq \\al(2,0)＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2eq \r(2).
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，故C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当
eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2)，又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4.
由②③得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，
从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2).
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的轨迹为椭圆
F1、F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2