新高考数学一轮复习学案第9章第6讲 双曲线（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第9章第6讲 双曲线（含解析），共17页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．双曲线的定义
[注意] (1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(2)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
常用结论
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
二、教材衍化
1．双曲线eq \f(x2,24)－eq \f(y2,25)＝－1的实轴长________，离心率________，渐近线方程________．
答案：10 eq \f(7,5) y＝±eq \f(5\r(6),12)x
2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a＞0)，
把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，
故所求方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
答案：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
3．以椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,3)＝1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽视双曲线定义的条件致误；
(2)忽视双曲线焦点的位置致误．
1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1的下支．
答案：双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为eq \r(3)，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，
可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2；
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，
则渐近线的方程为y＝±eq \f(a,b)x，
由题意可得eq \f(a,b)＝eq \r(3)，a＝eq \r(3)b，
可得c＝eq \f(2\r(3),3)a，则e＝eq \f(2\r(3),3).
综上可得e＝2或e＝eq \f(2\r(3),3).
答案：2或eq \f(2\r(3),3)
考点一 双曲线的定义(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解双曲线的定义及几何图形．
核心素养：数学抽象
(1)(2020·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝( )
A．2或14 B．2
C．14 D．2或10
(2)设F1，F2是双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．
【解析】 (1)由题意知eq \f(3,a)＝eq \f(3,4)，故a＝4，则c＝5.
由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，
由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，
所以|MF1|＝14.
(2)双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝eq \r(5).可设点P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，两边平方得，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，又|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.
【答案】 (1)C (2)1
【迁移探究】 (变设问)在本例(2)条件下，则△F1PF2的周长为________．
解析：又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝16＋8＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(6)，△PF1F2的周长为2eq \r(6)＋2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)＋2eq \r(6)
eq \a\vs4\al()
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝6，则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4或8
解析：选D．由双曲线的标准方程可得a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________．
解析：由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
则cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f((4\r(2))2＋(2\r(2))2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
考点二 双曲线的标准方程(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解双曲线的标准方程．
核心素养：数学运算
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程为________．
【解析】 (1)设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2＜6，所以点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
(2)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1中，c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).因为双曲线C与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1.当λ＞0时，c＝eq \r(λ＋4λ)＝eq \r(5)，解得λ＝1，则双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1；当λ＜0时，c＝eq \r(－λ－4λ)＝eq \r(5)，解得λ＝－1，则双曲线C的方程为y2－eq \f(x2,4)＝1.综上，双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1或y2－eq \f(x2,4)＝1.
【答案】 (1)C (2)eq \f(x2,4)－y2＝1或y2－eq \f(x2,4)＝1
eq \a\vs4\al()
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
①c2＝a2＋b2；
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法
①一般步骤
②常用设法
(i)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
(ii)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)或mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
1．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1 D．eq \f(y2,20)－eq \f(x2,4)＝1
解析：选B．2a＝eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\r((－5＋6)2＋22)－))eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\r((－5－6)2＋22)))
＝4eq \r(5).所以a＝2eq \r(5)，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1.故选B．
2．(2020·合肥市第一次质检测)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝eq \f(1,2)x，则双曲线C的方程为( )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
解析：选A．由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x＝eq \f(1,2)x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1，故选A．
考点三 双曲线的几何性质(综合型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解双曲线的简单几何性质．
核心素养： 数学运算
角度一 双曲线的渐近线问题
(2020·吉林第三次调研测试)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长是虚轴长的eq \r(2)倍，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±2eq \r(2)x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(2),4)x
【解析】 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2a，虚轴长为2b，所以2a＝2eq \r(2)b，即a＝eq \r(2)b.
所以渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x.故选C．
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
求双曲线的渐近线的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．
[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称．
角度二 双曲线的离心率问题
(1)(2020·兰州市诊断考试)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为eq \r(3)，则其虚轴长为( )
A．8eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．2eq \r(2) D．eq \f(4\r(6),3)
(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．eq \r(5)
【解析】 (1)由题意知2a＝4，所以a＝2.因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝2eq \r(3)，所以b＝eq \r(c2－a2)＝2eq \r(2)，所以2b＝4eq \r(2)，即该双曲线的虚轴长为4eq \r(2)，故选B．
(2)法一：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(c2,4)，将圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(c2,4)与圆x2＋y2＝a2的方程相减得cx＝a2，即x＝eq \f(a2,c)，所以点P，Q的横坐标均为eq \f(a2,c).由于PQ是圆x2＋y2＝a2的一条弦，因此eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PQ|,2)))eq \s\up12(2)＝a2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))eq \s\up12(2)＝a2，即eq \f(c2,4)＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2,c2)))＝eq \f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(2)，故选A．
法二：记F(c，0)．连接OP，PF，则OP⊥PF，所以S△OPF＝eq \f(1,2)|OP|·|PF|＝eq \f(1,2)|OF|·eq \f(1,2)|PQ|，即eq \f(1,2)a·eq \r(c2－a2)＝eq \f(1,2)c·eq \f(1,2)c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的离心率e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(2)，故选A．
法三：记F(c，0)．依题意，PQ是以OF为直径的圆的一条弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是该圆的与OF垂直的直径，所以∠FOP＝45°，点P的横坐标为eq \f(c,2)，纵坐标的绝对值为eq \f(c,2)，于是有eq \r(2)×eq \f(c,2)＝a，即e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，即C的离心率为eq \r(2)，故选A．
【答案】 (1)B (2)A
eq \a\vs4\al()
(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法
①求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1).
1．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq \r(2)，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，两条渐近线互相垂直，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4eq \r(2)，所以c＝2eq \r(2)，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以实轴长2a＝4.故选B．
2．(2020·甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(5)，则斜率为正的渐近线的斜率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \r(3) D．2
解析：选D．双曲线的离心率为eq \r(5)，即eq \f(c,a)＝eq \r(5)，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))\s\up12(2)－1)＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选D．
3．(2020·陕西榆林二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为eq \f(1,2)，则C的离心率为________．
解析：把x＝c代入双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)得y＝eq \f(b2,a)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
又A(－a，0)，直线AB的斜率为eq \f(1,2)，所以eq \f(\f(b2,a),a＋c)＝eq \f(1,2)，
可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，
即2e2－3－e＝0，
因为e＞1，所以e＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的离心率是eq \r(5)，则a＝( )
A．eq \r(6) B．4
C．2 D．eq \f(1,2)
解析：选D．由双曲线方程eq \f(x2,a2)－y2＝1，
得b2＝1，
所以c2＝a2＋1.
所以5＝e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).
结合a＞0，解得a＝eq \f(1,2).
故选D．
2．若双曲线C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1与C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq \r(5)，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．由题意得，eq \f(b,a)＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4eq \r(5)⇒c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5)⇒b＝4，故选B．
3．设双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10eq \r(3) B．8eq \r(3)
C．8eq \r(5) D．16eq \r(5)
解析：选C．依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)×8× eq \r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝8eq \r(5).
4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±2x
解析：选C．设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝eq \f(y,x－a)·eq \f(y,x＋a)＝eq \f(y2,x2－a2)＝eq \f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq \f(b2,a2)＝3，所以其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，故选C．
5．(多选)(2021·预测)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为eq \r(2)
解析：选ACD．等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确．故选ACD．
6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．
解析：因为双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)经过点(3，4)，所以9－eq \f(16,b2)＝1(b＞0)，解得b＝eq \r(2)，即双曲线方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，其渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
答案：y＝±eq \r(2)x
7．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P(1，eq \r(3))在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________，其离心率为________．
解析：因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，点P(1，eq \r(3))在渐近线上，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3).在Rt△OPF中，|OP|＝eq \r((\r(3))2＋1)＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以b＝2eq \r(3)，a＝2，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
答案：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 2
8.如图，F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±eq \r(\f(a2b2,b2－a2))，所以eq \r(2)·eq \r(\f(a2b2,b2－a2))＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋eq \r(2)，所以e＝eq \r(2＋\r(2)).
答案：eq \r(2＋\r(2))
9．已知椭圆D：eq \f(x2,50)＋eq \f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.
所以eq \f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解：(1)因为离心率e＝eq \r(2)，
所以双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－eq \r(10))在双曲线上，
可得λ＝42－(－eq \r(10))2＝6，
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，
所以32－m2＝6，所以m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
所以eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)·(2eq \r(3)－3，－m)＝(－3)2－(2eq \r(3))2＋m2＝9－12＋3＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
[综合题组练]
1．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±x D．y＝±eq \r(2)x
解析：选C．如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．
所以eq \(A1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋a，\f(b2,a)))，eq \(A2C,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a，－\f(b2,a))).
因为A1B⊥A2C，所以eq \(A1B,\s\up6(→))·eq \(A2C,\s\up6(→))＝0，
即(c＋a)(c－a)－eq \f(b2,a)·eq \f(b2,a)＝0，
即c2－a2－eq \f(b4,a2)＝0，所以b2－eq \f(b4,a2)＝0，故eq \f(b2,a2)＝1，即eq \f(b,a)＝1.
又双曲线的渐近线的斜率为±eq \f(b,a)，
故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.
2．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(5) B．eq \f(\r(5),2)
C．eq \r(5)＋1 D．eq \f(\r(5)＋1,2)
解析：选A．法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝eq \f(1,2)|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝eq \r(5)，故选A．
法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(5).
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＜0，则y0的取值范围是________．
解析：由题意知a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，
设F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
则eq \(MF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x0，－y0)．
因为eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＜0，
所以(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋yeq \\al(2,0)＜0，
即xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＜0.
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，
所以eq \f(xeq \\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，
所以2＋2yeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＜0，所以－eq \f(\r(3),3)＜y0＜eq \f(\r(3),3).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________．
解析：法一：因为eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图．
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq \f(a,b)，tan∠BOF2＝eq \f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
法二：因为eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点B在直线y＝eq \f(b,a)x上，所以eq \f(\r(3),2)c＝eq \f(b,a)·eq \f(c,2)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
答案：2
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)因为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq \r(6)，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)．
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)(x－3)，))得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(6,5)，x1x2＝－eq \f(27,5).
所以|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,3))× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,5))))＝eq \f(16\r(3),5).
6．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(5),2)，虚轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点．
解：(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，2b＝2，又a2＋b2＝c2，
所以a＝2，b＝1，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)－y2＝1，))
得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝eq \f(8mk,1－4k2)＞0，x1x2＝eq \f(－4(m2＋1),1－4k2)＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－4k2,1－4k2).
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，即eq \f(y1,x1＋2)·eq \f(y2,x2＋2)＝－1，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即eq \f(m2－4k2,1－4k2)＋eq \f(－4(m2＋1),1－4k2)＋eq \f(16mk,1－4k2)＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，
解得m＝2k或m＝eq \f(10k,3).
当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；
当m＝eq \f(10k,3)时，l的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10,3)))，直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，0))，经检验符合已知条件．
故直线l过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，0)).条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)