新高考数学三轮冲刺小题必练2 复数（2份打包，原卷版+教师版）

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1．复数的概念
①通过方程的解，认识复数．
②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
2．复数的运算
掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
3．*复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数形式与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
1．【2020全国山东卷】 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】复数代数形式的四则运算，是高考的常规考查，也是高考的重点，一般都是很基础的题目．
2．【2020浙江卷】已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位）是实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是实数，则虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点睛】复数的基本概念，是高考的常规考查．
一、单选题．
1．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，
可知“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的充分条件；
当 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可知“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的必要条件，
综上所述，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的充要条件．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为复数不能比较大小，所以A，B不正确，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故C不正确，D正确，
故选D．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，复数z的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选C．
4．设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论中正确的是（ ）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一象限B．复数 SKIPIF 1 < 0 一定不是纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在实轴上方D．复数 SKIPIF 1 < 0 一定是实数
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 ，所以方程有两根，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值可正可负，也可以为0，所以A、B不正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以D不正确，C正确，
故选C．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则复数 SKIPIF 1 < 0 的实部与虚部分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的实部与虚部分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，位于第二象限，故选B．
7．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 对应的点位于复平面的第三象限D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】复数 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第二象限， SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
8．复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
二、多选题．
9．设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则以下结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一象限B． SKIPIF 1 < 0 一定不为纯虚数
C． SKIPIF 1 < 0 对应的点在实轴的下方D． SKIPIF 1 < 0 一定为实数
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不可能为实数，所以D错误；
SKIPIF 1 < 0 对应的点在实轴的上方，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的点关于实轴对称， SKIPIF 1 < 0 对应的点在实轴的下方，所以C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的点在第二象限，所以A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可能为纯虚数，所以B错误．
10．关于复数 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为实数的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A是正确的；
若复数 SKIPIF 1 < 0 为实数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，反之，当 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 为实数，所以B是正确的；
SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以不正确．
11．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，所对应的向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有关下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的代数形式为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的一个辐角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0
D．向量 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到的复数为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，C错；
向量 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到的复数为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是实数，若复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点在第四象限，则实数 SKIPIF 1 < 0 可取
的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是实数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点在第四象限，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题．
13．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 的模为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，填 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
15． SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由复数相等的意义有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．