新高考数学三轮冲刺小题必练3 不等式（2份打包，原卷版+教师版）

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1．学会解不等式．
2．掌握不等式基本性质．
3．学会利用基本不等式求最值问题．
1．【2020浙江高考真题】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 ，
则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】对 SKIPIF 1 < 0 分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，
综上一定有 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题．
2．【2019天津高考真题（理）】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】把分子展开化为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式求最值．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时成立，
故所求的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
一、单选题．
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： SKIPIF 1 < 0 ）分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ SKIPIF 1 < 0 ）分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
同理， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故最低费用为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．不能确定
【答案】A
【解析】利用作差法可得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系．
已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
3．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【解析】利用基本不等式判断即可．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即①正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即④正确，
故选B．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，称为高斯取整函数，例如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出集合 SKIPIF 1 < 0 ，再讨论 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，求出集合 SKIPIF 1 < 0 ，
由集合的运算结果即可求解．
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径也为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的三边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】利用等面积法可得 SKIPIF 1 < 0 ，式子化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可求解．
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，内切圆半径也为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4，故选C．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由已知可分析出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符号，再用基本不等式，然后放缩可得 SKIPIF 1 < 0 的符号．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中两负一正，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
7．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系与 SKIPIF 1 < 0 有关
【答案】A
【解析】作差 SKIPIF 1 < 0 ，然后配方可得结论．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 SKIPIF 1 < 0 吨垃圾，最多要处理 SKIPIF 1 < 0 吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 吨B． SKIPIF 1 < 0 吨C． SKIPIF 1 < 0 吨D． SKIPIF 1 < 0 吨
【答案】B
【解析】由题意，得到每吨的平均处理成本为 SKIPIF 1 < 0 ，
再结合基本不等式求解，即可得到答案．
由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平均处理成本为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，每吨的平均处理成本最低．
故选B．
二、多选题．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，故选CD．
10．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由不等式的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B、C正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选AD．
11．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】对选项A， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对选项B， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对选项C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选BD．
12．下列选项正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故等号不能成立，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不同时为零，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选BCD．
三、填空题．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题设条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
利用基本不等式即可求解．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】把分子展开化为 SKIPIF 1 < 0 ，
再利用基本不等式求最值．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
等号当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时成立，
故所求的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______， SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 (舍)；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．