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新高考数学三轮冲刺小题必练5 数列求通项、求和（2份打包，原卷版+教师版）

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本单元的学习，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律．
内容包括，等差数列通项公式及前 SKIPIF 1 < 0 项和、等比数列通项公式及前 SKIPIF 1 < 0 项和．
1．等差数列
①理解等差数列的概念和通项公式的意义．
②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
2．等比数列
①理解等比数列的概念和通项公式的意义．
②探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
1．【2019全国卷理】记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
2．【2020全国卷文】记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式的应用，考查了数学运算能力．
一、单选题．
1．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
2． SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
3．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的前11项和 SKIPIF 1 < 0 （）
A．22B．44C．55D．66
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
4．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A．63B． SKIPIF 1 < 0 C．32D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
5．已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 是它的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项
为5，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
6．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为正项等比数列中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
7．设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0
项和 SKIPIF 1 < 0 为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，首项和公比都是3，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
8．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前100项和为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
二、多选题．
9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 为等差数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列
【答案】AD
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为2的等差数列，
因为公差大于零，所以 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C错误，
故选AD．
10．记单调递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增的等比数列，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选BC．
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的为（）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故A错误，B，C，D正确，
故选BCD．
12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为4，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 为等差数列B． SKIPIF 1 < 0 为递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然递增，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选BD．
三、填空题．
13．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．设 SKIPIF 1 < 0 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______；
SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，5
【解析】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故以此类推，
n是奇数， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
n是偶数， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ；5．