2024年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科）

这是一份2024年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科），共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷（适应省份：陕西、青海、宁夏、内蒙古、四川），数学试题涉及的内容广泛、基本覆盖了中学数学所学的内容，整套试题落实了高考内容改革的要求，严格遵循高中课程标准，深化了基础性与综合性，同时关注了应用性与创新性，聚焦数学学科的核心素养，精选考试情境，加强对学生关键能力的考察，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助力高中育人方式的改革。试题的设计以“稳中求变，变中求新”的方式，紧密结合社会实践和现实生活，使试题的情景丰富多变，设计比较巧妙的提问方式，突出了对学生思维能力的考查，体现了数学在实际问题中的重要作用和重要价值，彰显了以学生的发展为本，立德树人，提升素养的基本理念。试题的难度适中，来源于教材，回归教材，又不同于教材，有利于不同同水平的考生发挥，有很好的信度与区分度，更加有利于高校选拔优秀的人才。在引导中学数学教学上，加强学科的核心素养，数学应用能力和数学创新能力等有很好的导向作用。
一、注重基础知识应用，发挥基础学科作用，考查教学本质
相比于2023年全国甲卷或乙卷，在试题的设计和考点的分布来看，在试卷的结构和难易程度上几乎保持一致。试题设计上，选择题前8道比较基础，后四到稍微增加难度，填空题4道也是由易到难，解答题第一问都是比较基础，第二问稍微增加难度。整套试卷难度中等，更多的考查了学生在日常学习中积累和基础知识点的运用。2024年全国甲卷数学更强调基础性。注重基础知识应用，发挥基础学科的作用。所以，2024年全国甲卷总体是有利于考生稳定心态，正常发挥，考出每一个考生的数学的真正水平。在新老高考交替的过程中，2024甲卷扮演好了“平稳过渡”的作用。
如：第（18）题是数列，对通项公式的求法和错位相减法求和的考查回归基础方法、基础知识点，突出考查数学本质。
二、创新问题的自然情境，助力于创新人才的选拔，考查创新能力
新颖的创新问题的自然情境，也是未来高考数学的趋势。如第9题，考查了平面向量与充分必要条件：
在两个的知识的交汇点，改变以往老套的命题思路，运用了平面向量之间平行与垂直的坐标运算，加上充分必要条件的外壳，去考查了学生的逻辑推理素养。体现了新课标对于学生基础能力的考查，同时也更加突出了对于学生综合能力的考查。更加有利于国家选拔创新型人才。
新高考马上就要到来，作为最后一次老高考的洗礼，或多或少也是有些新高考的方向。“死记硬背、机械式刷题”已经不在适用于这次高考，反套路的影子已经深深扎根于这次试卷。基础题目起点降低，基础性很强，增加了试题的灵活性和开放性。减少一些繁琐无效的计算，增加了题型的创新型。如试卷中的12题，填空题的压轴，通过认真思考直线与圆相交的的弦长，运用点到直线的距离最大或最小的变，可以冷静分析出弦长的最值问题。不需要复杂计算，不需要复杂分类讨论，只需要认真分析直线与圆的基础性质。
试题回归教材，却不同于教材，引导教学思考
总体来说，今年的甲卷数学，难度略降，但内涵陡升，可以说是简约而不简单。试卷上的每道题都来源于教材，却不同于教材。2024年甲卷，立足于基础，注重能力与素养，试题的设计符合课程标准，没有偏题怪题。立足于基础知识、基础技能、基本的活动经验，关注到不同层次的学生，让不同层次的学生的水平都得到展示。不仅仅考查学生可以在教材中学习到的知识和技能，也要去考查学生学习知识的过程，考查学生问题意识与主动探索意识，也要考查学生在平时学习过程中形成过程的方法和习惯，以及学生独立思考，主动探索的能力。如试卷中的13题，考查了二项式定理的最大项，我们可以很清楚的读懂题目，但是却又要学生有明确的审题能力以及数学运算的能力。
立足教材，通观整张试卷，大部分题目的知识点都来源于课本或是课本的一些改变题目，或是定理知识点的应用。也在要求教师在平时的教学活动中，应该引导学生自主归纳整理教材知识，构建四通八达且流畅的知识网络结构图。要多章节，跨版块的进行比较、渗透、分类与整合、化归与转化、函数与方程、特殊与一帮，提升学生的综合能力。
1、加强对于主干知识点的考查，深化对于数学基础知识点考查。这是新高考数学的命题趋势，也是以后高考数学的命题趋势。主干知识肯定会重点考查，所以我们在高考备考中，需要把自己的精力重点放在对于数学主干知识点的学习和复习中。同时，在学习数学知识点的过程中要加强对于 数学基本概念与基本思想的理解。
2.加强思想方法考查，重视学生数学思维的培养。这是老高考和新高考的一个存在明显差异的地方。未来的数学高考趋势，会越来越倾向于学生思维的培养，课堂上我们学到知识点总是有限，在数学试卷中，往往也会出现老师没有讲过的知识点或者题型。所以说，必须重视对于 数学思维的培养以及基本的数学思维方法的考查，在学习数学的过程中，我们一定要考思考有没有其他的解法？多去接触一些难题，提升我们的数学思维。
3.新高考试卷结构调整，改编相对固化的试题布局，优化试题设计，减少学生反复刷题，机械训练的收益。题海战术、机械刷题的学习方法已将不在使用当下以及后续的新高考数学。因此，我们在复习数学知识点的时候，就要有意识的避免题海战术，采取正确的做题方式，弄清数学的基本原理和概念内容。
4.新高考数学加大了计算量、打乱了数学考试的难度顺序。近年虽然还是老高考，但已经有新高考的味道。近年的填空题的13题，大家以为是简单题，但确实有一定难度。所以一定要稳住自己的心态，不要情绪崩溃。
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，则（ ）
A. B. C. 10D.
【答案】A
【考查知识点与考试技巧】共轭复数+复数的运算
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.故选：A
2. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考查知识点与考试技巧】偶次根式的意义+集合的定义+集合的交集、补集
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
3. 若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考查知识点与考试技巧】线性规划
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，联立，解得，即，
则.故选：D.
4. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】等差数列求和公式+等差数列的性质+等差数列求指定项
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.故选：B.
5. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】双曲线的定义+求离心率
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
【考情速递】离心率高考常考类型 近年来圆锥曲线的离心率问题在以往高考题中多以选择、填空题的形式出现，2023年新课标Ι卷第5题，2022年全国甲卷理科第10题均考查了椭圆的离心率，本题紧密把握高考的趋势。当解题时应当注重从平面图形的几何性质入手，熟悉和掌握几类常见的几何关系的转化，列出边长之间的等量关系。280
6. 设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考查知识点与考试技巧】导数函数求导+切线方程+三角形的面积
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
7. 函数在区间的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】函数的图像与性质
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
【方法技巧】求解指定具体函数解析式图像的一般方法：一般采用排除法，按照以下步骤进行，
①、求函数的定义域；②求函数的奇偶性与单调性；③求函数的特殊点的函数值；④求导，求函数的极值点与最值点。
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考查知识点与考试技巧】三角恒等变换+两角和的正切公式
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，，
所以，故选：B.
【考情速递】突出考查三角公式 2023年新课标Ι卷第8题考查两角和与差的正弦公式及二倍角的余弦公式；本题考查两角和的正切公式及三角恒等变换。两题的共性是熟练掌握每个三角公式的结构特点。
9. 已知向量，则（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件D. “”是“”的充分条件
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】平面向量的平行与垂直的坐标运算+充分必要条件
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
【方法技巧】已知，，，
【考情速递】重点考查逻辑推理素养，突出思想性 2023年新课标Ι卷第7题，以等差数列为题设条件考查充分必要条件，本题以平面向量的平行与垂直考查充分必要条件。两题的共性：①均考查逻辑推理能力，考查充分必要条件的判断；②题设条件均为学生所熟悉的知识。
10. 设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或 ②若，则
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【考查知识点与考试技巧】空间中线线、线面、面面的位置关系
【分析】根据线面平行判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.
【详解】对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，故②错误；
对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，
同理可得，则，因为平面，平面，则平面，
因为平面，，则，又因为，则，故③正确；
对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
11. 在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】正弦定理+余弦定理+三角恒等变换+求三角函数式的值
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
12. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】C
【考查知识点与考试技巧】等差中项+直线与圆的位置关系+点到直线的距离+勾股定理
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，各项系数的最大值是______．
【答案】5
【考查知识点与考试技巧】二项式定理+求最大系数项（涉及排列组合公式的计算）
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______．
【答案】
【考查知识点与考试技巧】圆台的结构特征（求高）+圆台的体积公式
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为，
，
所以.
故答案为：.
15. 已知，，则______．
【答案】64
【考查知识点与考试技巧】对数的运算性质（换底公式）+二次方程求解
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______．
【答案】
【考查知识点与考试技巧】排列与组合+分类加法计数原理与分步乘法计数原理+随机事件的概率
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【考查知识点与考试技巧】独立性检验+用频率估计概率+统计的新定义
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
【小问1详解】
根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
【小问2详解】
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【考情速递】第一问独立性检测是高考的常考题型，第二问来源于2023年高考全国乙卷第17题的改编，用频率估计概率，计算几个数据的关键数据，来剖析和探索统计的新定义。
18. 记为数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
【答案】（1）
（2）
【考查知识点与考试技巧】退位法可求的通项公式+错位相减法
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
【小问2详解】
,
所以
故
所以
，
.
【二级结论】万能公式：
形如的数列求和为，
其中，，
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【考查知识点与考试技巧】线面平行的性质+二面角
【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；
（2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为为的中点，所以，
四边形平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
【小问2详解】
如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，令，得，即，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.
20. 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【考查知识点与考试技巧】椭圆的定义、通径与方程+直线与椭圆的位置关系
【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
【小问1详解】
设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）
【考查知识点与考试技巧】利用导数研究函数的单调区间、极值点+不等式的证明
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值，无极大值.
【小问2详解】
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【方法技巧】根据不等式恒成立求参数的取值范围的一般方法：①分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上的具体函数，通过对具体函数的研究确定含参数式子满足的条件；②分类讨论法，根据参数的取值情况分类讨论；③数形结合，将不等式转化为两个函数，利用两个函数的图像求解。
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【考查知识点与考试技巧】极坐标方程与直角坐标方程的互化+直线参数方程的几何意义
【分析】（1）根据可得的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，
法1：结合参数的几何意义可得关于的方程，从而可求参数的值；
法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.
【小问1详解】
由，将代入，
故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.
【小问2详解】
对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
法1：直线的斜率为，故倾斜角为，
故直线的参数方程可设为，.
将其代入中得
设两点对应的参数分别为，则，
且，故，
，解得.
法2：联立，得，
，解得，
设,，
则，
解得
[选修4-5：不等式选讲]
23. 实数满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【考查知识点与考试技巧】基本不等式的解法+绝对值不等式的解法
【分析】（1）直接利用即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【小问1详解】
因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
【小问2详解】
适用省份
陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
题型
题号
分值
考查内容
考查点
选择题
1
5分
复数
共轭复数、复数的基本计算
2
5分
集合
集合的定义、交集、补集的计算
3
5分
线性规划
求最值
4
5分
数列
等差数列基本量的计算
5
5分
圆锥曲线
双曲线的定义，离心率的计算
6
5分
函数与导数
导数的几何意义，切线方程，直线方程
7
5分
函数图像
复合函数的奇偶性，特殊值
8
5分
三角恒等变换
弦化切，两角和的正切公式
9
5分
平面向量、逻辑用语
平面向量的平行于垂直、充分条件、必要条件
10
5分
立体几何
线面、面面的平行于垂直
11
5分
解三角形
正弦定理与余弦定理
12
5分
直线与圆
等差数列、定点、垂径定理、最短弦
填空题
13
5分
二项式定理
系数最大项
14
5分
立体几何
圆台的结构特征与圆台的体积公式
15
5分
函数
对数的基本运算、对数的换底公式
16
5分
排列与组合
分类与分步、随机事件的概率、古典概率
解答题
17
12分
概率与统计
事件的独立性检测
18
12分
数列
退位法求通项公式、错位相减
19
12分
立体几何
线面平行的证明、二面角
20
12分
解析几何
椭圆的通径、直线与椭圆的位置关系
21
12分
函数与导数
极值、证明不等式、恒成立问题
22
10分
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程的互化、弦长
23
10分
不等式选讲
基本不等式、绝对值不等式
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30