2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅰ卷）

这是一份2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅰ卷），共29页。试卷主要包含了加强考教衔接,引导中学教学，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.
一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计
2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.
新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.
试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.
二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔
数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.
试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.
试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.
三、加强考教衔接,引导中学教学
2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.
高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.
1.总题量由22题减少为19题,多选题由4题减少为3题,填空题由4题减少为3题,解答题由6道减少为5题.
2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.
3.增加新定义问题,全国卷 = 1 \* ROMAN I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.
4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.
1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理； 熟悉并运用常见的基本技能和方法.
2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求
4. 第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.
5. 对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.
2024年高考数学真题完全解读（新高考 = 1 \* ROMAN I卷）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ,,则=（ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.
【解析】由得,因为,,所以,故选A.
【快解】因为,排除BCD,故选A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2．若,则 （ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.
【答案】C
【解析】由得,,故选C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
3．已知向量,若,则（ ）
A． B．C．1D. 2
【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.
【答案】D
【解析】因为,所以,所以,故选D.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.
【知识链接】
1. 求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b＝|a||b|cs〈a,b〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.
4.已知,则
A． B．C． D.
【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.
【答案】A
【解析】因为.所以2,所以=,故选A.
【快解】因为,取,则=,=,故选A.
【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.
【知识链接】
1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．
2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．
5． 已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为
（ ）
A． B．C． D．
【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易
【答案】B
【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为,由侧面积相等,且它们的高均为,得,解得,所以圆锥的体积为,故选B.
【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.
【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.
6.已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中
【答案】B
【解析】当时单调递增,要使在R上单调递增,应满足,所以,故选B.
【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.
【知识链接】
1.确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．
2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．
7．时,曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中
【答案】C
【解析】作出曲线与在上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.
【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.
【知识链接】
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．
3.根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
8．已知函数的定义域为R,,且当时,,则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难
【答案】C
【解析】由时,得,=3>5,,,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,所以,故选B.
【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.
【知识链接】
1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：
(1)=；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7) ；
(8).
2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：
(1)若,则的图象关于直线对称；
(2)的图象与的图象关于直线对称；
(3)若,则的图象关于点对称.
(4)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(5)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(6)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差,已知该种植区以往的亩收入服从正态分布,假设推动出口后的亩收入服从正态分布,则（）（若随机变量Z服从正态分布,）
A．
B．
C．
D．
【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易
【答案】BC
【解析】依题可知,,所以,
故,C正确,D错误；
因为,所以,因为,所以,
而,B正确,A错误,故选BC．
【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.
【知识链接】
正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方,与x轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；
2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
10．设函数,则（）
A．是的极小值点
B．当时,
C．当时,
D． 当时,
【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中
【答案】ACD
【解析】解法一：对于A,因为,当时,,当或时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,是函数的极小值点,A正确；对于B,当时, ,由在上单调递增,可得,B错误；对于C,当时,,由在上单调递减,可得,即,C正确；对于D,当时,,所以,D正确；故选ACD.
解法二：对于A,由,且时,,当时,,得 是函数的极小值点,A正确；对于B, 取,则,,>,B错误；对于C,因为,,C正确；对于D,当时,,所以,D正确；故选ACD.
【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.
【知识链接】
1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．
2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于,到点的距离与到定直线的距离之积为4,则（）
A．
B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点在C上时,
【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点,则且,因为曲线过坐标原点,故,解得,故A正确.对于B：又曲线方程为,而,故.当时,,故在曲线上,故B正确.对于C：由曲线的方程可得,取,则,而,故此时,故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D：当点在曲线上时,由C的分析可得,故,故D正确.故选ABD.
【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.
【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于轴的直线交C于A,B两点,若,则C的离心率为___________．
【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易
【答案】
【解析】解法一：由题可知三点横坐标相等,设在第一象限,将代入
得,即,故,,又,得,解得,代入得,故,即,所以.
解法二：在直角△中,由勾股定理得,所以C的离心率为.
【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.
【知识链接】
1.过双曲线焦点且与实轴垂直的弦长为；
2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系．
3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：.
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则__________.
【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中
【答案】
【解析】由得,,故曲线在处的切线方程为；由得,设切线与曲线相切的切点为,由两曲线有公切线得,解得,则切点为,切线方程为,根据两切线重合,所以,解得.
【点评】 用导数研究曲线的切线一直是高考的热点,常考问题有：求曲线在某点处的切线,求过某点的切线条数,公切线问题.
【知识链接】求解公切线问题,通常是设出两个切点,分别写出两切线在这两个切点处的切线,把两切线方程转化为斜截式,再利用斜率与截距分别相等建立关系式求解.
14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.
【命题意图】本题考查概率的计算,考查逻辑推理与数据分析的核心素养,难度：难
【答案】
【解析】解法一：总的出牌结果有种,甲出1时比输,所以甲最多得3分,且甲得3分的结果只有1种：,甲得2分的结果有：
（1）仅出3和5赢：1-6,3-2,5-4,7-8；（2）仅出3和7赢：1-4,3-2,5-8,7-6；1-8,3-2,5-6,7-4；1-6,3-2,5-8,7-4；仅出5和7赢：1-2,3-8,5-4,7-6；1-4,3-8,5-2,7-6,；1-8,3-4,5-2,7-6,；1-6,3-8,5-2,7-4；1-8,3-6,5-2,7-4；1-6,3-8,5-4,7-2,；1-8,3-6,5-4,7-2,得分不小于2分的总结果共12种,所以所求概率.
解法二：设甲在四轮游戏中的得分分别为,四轮的总得分为.
对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率,所以.
从而.记.
如果甲得0分,则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以；如果甲得3分,则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以.而的所有可能取值是0,1,2,3,故,.所以,,两式相减即得,故.所以甲总得分不小于2的概率为.
【点评】求随机事件的概率一直是高考中的热点,求解此类问题的关键确定概率模型,当问题比较复杂时要先把相关事件用简单事件的和与积表示,再利用相关公式求解.
【知识链接】
1.对于随机事件,
2.若互斥,则 若相互独立,则.
3. 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法
①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率．
②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．
4.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,在列举基本事件空间时,可以利用列举、画树状图等方法,以防遗漏．同时要注意细节,如用列举法,注意是无序还是有序．在解答时,缺少必要的文字说明,没有按要求列出基本事件是常见错误．
四、解答题：本题共5 小题,共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知,
（1）求B；
（2）若的面积为,求c．
【命题意图】本题考查解三角形,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：难
解：（1）由余弦定理有,因为,
所以,
因为,所以,
从而,
因为,所以,
因为,所以.
（2）解法一：由（1）知,,,所以,
,
而,
由正弦定理有,
从而,
所以 =,
解得.
解法二：：由（1）知,,,所以,
,
由正弦定理得,从而,
因为的面积为,所以,,
由得,
解得 ,所以.
【点评】本题把正弦定理、余弦定理及三角形面积公式交汇考查,命题形式与往年基本相同,学生对此类问题训练较多,如运算能力过关,该题得满分应该没有问题.
【知识链接】应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B),b＝eq \f(asin B,sin A),c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b),sin B＝eq \f(bsin A,a),sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,求,有时可配方把式子化为整体代入求值．
16. （15分）已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率;
（2）若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程．
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆位置关系的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中
【解析】（1）因为在椭圆上,所以,
因为在上,所以,
解得,.
所以C的离心率.
（2）解法一：因为直线AP斜率,
所以直线的方程为,即,
,由（1）知,
设点到直线的距离为,则,
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可,
此时该平行线与椭圆的交点即为点,
设该平行线的方程为：,
则,解得或,
当时,联立,解得或,
即或,
当时,此时,直线的方程为,即,
当时,此时,直线的方程为,即,
当时,联立得,
,此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
解法二：同解法一得到直线的方程为,
点到直线的距离,
设,则,解得或,
即或,以下同法一.
解法三：同解法一得到直线的方程为,
点到直线的距离,
设,其中,则有,
联立,解得或,
即或,以下同解法一；
解法四：当直线的斜率不存在时,此时,
,符合题意,此时,直线的方程为,即,
当线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立椭圆方程有,则,其中,即,
解得或,,,
令,则,则
同解法一得到直线的方程为,
点到直线的距离,
则,解得,
此时,则得到此时,直线的方程为,即,
综上直线的方程为或.
解法五：当的斜率不存在时,到距离,
此时不满足条件.
当的斜率存在时,设,令,
,消可得,
,且,即,
,
到直线距离,
或,均满足题意,或,即或.
解法六：当的斜率不存在时,到距离,
此时不满足条件.
当直线斜率存在时,设,
设与轴的交点为,令,则,
联立,则有,
,
其中,且,
则,
则,解的或,经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或,即或.
【点评】与往年相比,解析几何解答题位置前移,难度有所降低.通常解析几何解答题第（1）题属于得分题,难度甚至小于选择题的前3题,难题争取得部分分应成为每位考生的追求,解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大,相等一部分学生会因运算不过关出错,或嫌麻烦,直接放弃,其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线方程或离心率,难度比较小,不要放弃,第（2）问的思路还是比较容易想到的,平时多做几道类似的题,总结运算规律,争取做到题不二错,这部分分通过努力还是能够得到的. .
【知识链接】
1.设直线的点斜式方程或斜截式方程,若斜率有可能不存在,要注意讨论；
2.若直线与椭圆交于点,则；
3.若直线与椭圆交于点,则；
4.计算圆锥曲线中三角形的面积问题,通常先利用弦长公式求出底边,再利用点到直线距离公式求高；若△ABC中点A及BC边上一点D都在x轴上,则.
17. 如图,四棱锥中,底面ABCD,,．
（1）若,证明：平面；
（2）若,且二面角的正弦值为,求．
【命题意图】本题考查线面平行的证明及二面角的计算,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养,难度：中
【解析】（1）因为平面,而平面,所以,
又,,平面,所以平面,
而平面,所以.
因为,所以,根据平面几何知识可知,
又平面,平面,所以平面．
（2）解法一：

以点D为坐标原点,直线DA,DC分别为x轴、y轴,过点D与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,
,,,,
设平面ACP的法向量,则,
即,取,得,
设平面CDP的法向量,则,
即,取,得,
设二面角的平面角为,
因为,所以,
所以=,解得,
所以.
解法二：如图所示,过点D作于,再过点作于,连接,
因为平面,所以平面平面,而平面平面,
所以平面,又,所以平面,
根据二面角的定义可知,即为二面角的平面角,
即,即．
因为,设,则,由等面积法可得,,
又,而为等腰直角三角形,所以,
故,解得,即．
【点评】高考试卷中立体几何解答题一般有2问,第一问多为线面位置关系的证明或长度、面积、体积的计算, 对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,第二问多为利用空间向量线面角或二面角（有时也可不利用空间向量）,在高考中立体几何解答题一般难度不大,属于得分题,若利用空间向量求空间角,运算错误是失分主要原因.
【知识链接】
证明线面位置关系应注意的问题
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．
18. （17分）已知函数.
（1）若,且,求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当,求的取值范围．
【命题意图】本题考查导数的应用及对称问题的证明,考查逻辑推理、数学抽象及数学运算的核心素养.难度：中
【解析】（1）时,,其中,
则,
因为,当且仅当时等号成立,
故,而成立,故即,
所以的最小值为.,
（2）解法一：的定义域为,
设为图象上任意一点,
关于的对称点为,
因为在图象上,故,
而,
,
所以也在图象上,
由的任意性可得图象为中心对称图形,且对称中心为.
解法二：设,
则,
所以是奇函数,图象关于点对称,
把的图像向右平移一个单位,再向上（ ）平移个单位,或向下平行个单位,得的图像,
所以的图像关于点对称,是中心对称图形.
（3）解法一：
因为当且仅当,故为的一个解,
所以即,
先考虑时,恒成立.
此时即为在上恒成立,
设,则在上恒成立,
设,
则,
当,,
故恒成立,故在上为增函数,
故即在上恒成立.
当时,,
故恒成立,故在上为增函数,
故即在上恒成立.
当,则当时,
故在上为减函数,故,不合题意,舍；
综上,在上恒成立时.
而当时,
而时,由上述过程可得在递增,故的解为,
即的解为.
综上,.
解法二：
因为当且仅当,故为的一个解,
所以即,
,
由（1）知,,
当,即时,单调递增,
恒成立,
若,则存在,使得时,单调递减,,
不满足题意,
综上得的取值范围是.
【点评】导数解答题一般为压轴题,多位于第18题或19题的位置上,无论是求极值、最值或研究零点问题或证明不等式,求解不等式恒成立问题,大多要利用导数研究函数的单调性,然后利用单调性求解,所以掌握研究函数单调性的方法至关重要.本题第（1）小题属于得分题,第（2）小题出现了证明函数图像的对称问题,该问题是函数问题,不涉及导数,这一变化趋势请考生注意.
【知识链接】
1.本题第（1）小题是恒成立问题,若有最小值,则.
2.本题第（2）小题是函数图像的中心对称问题,的图像关于点对称.
3.本题第（3）小题是不等式恒成立问题,其模式是根据时恒成立,求参数取值范围,求解步骤一般分两步： = 1 \* GB3 ①求出使的参数范围（该范围就是所求参数范围）, = 2 \* GB3 ②当参数在其他范围内取值时找到一个,使得时,从而确定在该范围内不等式不恒成立.
19. （17分）设m为正整数,数列是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列是可分数列．
（1）写出所有的,,使数列是可分数列；
（2）当时,证明：数列是可分数列；
（3）从中一次任取两个数和,记数列是可分数列的概率为,证明：．
【命题意图】本题考查等差数列的应用及概率的计算,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难.
【解析】（1）首先,我们设数列的公差为,则.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,
故我们可以对该数列进行适当的变形,
得到新数列,然后对进行相应的讨论即可.
换言之,我们可以不妨设,此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题,第1小问相当于从中取出两个数和,使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是,或,或3,4,5,6.
所以所有可能的就是.
（2）由于从数列中取出和后,剩余的个数可以分为以下两个部分,共组,使得每组成等差数列：
①,共组；
②,共组.
（如果,则忽略②）
故数列是可分数列.
（3）定义集合,.
下面证明,对,如果下面两个命题同时成立,
则数列一定是可分数列：
命题1：或；
命题2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果,且.
此时设,,.
则由可知,即,故.
此时,由于从数列中取出和后,
剩余的个数可以分为以下三个部分,共组,使得每组成等差数列：
①,共组；
②,共组；
③,共组.
（如果某一部分的组数为,则忽略之）
故此时数列是可分数列.
第二种情况：如果,且.
此时设,,.
则由可知,即,故.
由于,故,从而,这就意味着.
此时,由于从数列中取出和后,剩余的个数可以分为以下四个部分,共组,使得每组成等差数列：
①,共组；
②,,共组；
③全体,其中,共组；
④,共组.
（如果某一部分的组数为,则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排,排成一个包含个行,个列的数表以后,个列分别是下面这些数：
,,,
可以看出每列都是连续的若干个整数,它们再取并以后,将取遍中除开五个集合,,,,中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中,除开已经去掉的和以外,剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求,故此时数列是可分数列.
至此,我们证明了：对,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列一定是可分数列.
然后我们来考虑这样的的个数.
首先,由于,和各有个元素,故满足命题1的总共有个；
而如果,假设,则可设,,代入得.
但这导致,矛盾,所以.
设,,,则,即.
所以可能的恰好就是,对应的分别是,总共个.
所以这个满足命题1的中,不满足命题2的恰好有个.
这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.
当我们从中一次任取两个数和时,总的选取方式的个数等于.
而根据之前的结论,使得数列是可分数列的至少有个.
所以数列是可分数列的概率一定满足
.
这就证明了结论.
【点评】本题的新定义问题,难度大,综合性强,需要分类讨论,求解要求有较强的逻辑思维能力,和集合论的简单知识,与往年北京卷的压轴题类似,但此题分为3小题,3小题难度有明显的坡度,中等成绩学生拿部分分是有可能的,但拿满分基本是不可能的,换言之该题是用来服务拔尖创新人才选拔的,绝大部分学生做不出来在情理之中,把新定义问题作为压轴题,这一新的变化趋势符合高考改革精神,后续高考会坚持.
【知识链接】新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解. 但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.
使用省份
广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北、山东、浙江、安徽、河南、江西
题号
分值
题型
考查内容
模块（题目数）
1
5分
单选题
集合与不等式
1.集合（共1题）
2.不等式（共2题）
2
5分
单选题
复数的运算
复数（共1题）
3
5分
单选题
平面向量的数量积
平面向量（共1题）
4
5分
单选题
三角变换
三角函数与解三角形（共3题）
5
5分
单选题
圆锥的体积
立体几何（共2题）
6
5分
单选题
分段函数单调性
函数（共2题）
7
5分
单选题
三角函数的图象
三角函数与解三角形（共3题）
8
5分
单选题
抽象函数
函数（共2题）
9
6分
多选题
正态分布
概率统计（共3题）
10
6分
多选题
导数应用
1导数（共3题）
2.不等式（共2道）
11
6分
多选题
曲线与方程
解析几何（共3题）
12
5分
填空题
双曲线
解析几何（共3题）
13
5分
填空题
导数的几何意义
导数（共3题）
14
5分
填空题
概率
概率统计（共3题）
15
13分
解答题
解三角形
三角函数与解三角形（共3题）
16
15分
解答题
椭圆、面积
解析几何（共3题）
17
15分
解答题
线面平行、二面角
立体几何（共2题）
18
17分
解答题
导数应用、对称问题
导数（共3题）
19
17分
解答题
新定义、数列
数列（共1题）