河南省郑州市东漳中学2024-2025学年九年级上学期数学开学测试题（原卷版+解析版）

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1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A. 惊蛰B. 芒种
C. 立秋D. 大雪
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 下列从左边到右边变形，属于因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意；
B选项，x2+4x+4=（x+2）2，所以该选项不符合题意；
C选项，x2-2x+1=（x-1）2，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
3. 若，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质对所给不等式变形判断即可．
【详解】A．在不等号两边同时加 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意；
B．在不等号两边同时减5，不等号方向不变，故本选项不符合题意；
C．在不等号两边同时乘 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意；
D．在不等号两边同时乘，不等号方向改变，故本选项符合题意；
4. 在中， 若， 则（ ）
A. B.
C. D. 是锐角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
故选：C．
5. 若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，根据二次根式的意义得出，从而可得答案；
【详解】解：要使代数式有意义，
∴，
解得：．
故选D．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 8的立方根是B. 4的平方根是2
C. 同位角相等D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，立方根，平方根，方差的意义，真假命题的判定，熟练掌握平行线的性质，立方根，平方根的性质，方差的意义是解题的关键．
正数的立方根是正数，正数的平方根有2个，它们互为相反数，两直线平行，同位角相等，方差越小，数据越稳定，据此逐一分析判定即可．
【详解】解：A. 8的立方根是2，错误，该选项不符合题意；
B. 4的平方根是，错误，该选项不符合题意；
C. 两直线平行，同位角相等，错误，该选项不符合题意；
D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，正确，该选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换，注意旋转的不变性是解题的关键．
由旋转得对应角，对应边相等，利用等边对等角及外角即可求解．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好边BC上，
∴，
∴，
∴在中，,
∵，
∴
故选：B．
8. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ）

A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，再由三角形的中位线定理即可得到的长度．
【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O，，
∴，
∴，
∵P，Q分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
9. 若关于的分式方程无解，则的值为 （ ）
A. B. 或2C. 或2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
去分母得，即，
当，即时，无解；
当，即时，，
关于的分式方程无解，
，解得；
综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2，
故选：C．
10. 如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）

A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点Q，连接，，证明四边形为平行四边形，求出，最后用勾股定理求出最小值.
【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：

∵正方形的边长为10，
∴,，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，
∵点Q时的中点，∴，
由勾股定理得，，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.
二、填空题
11. 因式分解：x2+x=_____．
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【详解】解：
12. 函数的自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了自变量的取值范围，确保分式有意义，二次根式有意义，是解题的关键．根据分式有意义的条件，得，根据二次根式有意义的条件，得，综合计算即可．
【详解】解：∵的分母不为零，
∴，
∵是二次根式，必须有意义，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据绝对值的性质判断真假即可．
【详解】解：∵，但，
∴命题“若，则”是假命题．
故答案为：假．
14. 已知点，关于轴对称，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟知关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
【详解】解：点，关于轴对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
15. 一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】结合一次函数y=-2x+4的图象可以求出图象与x轴的交点为（2，0），以及与y轴的交点为（0，4），可求得图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【详解】令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，4）．
∴S=．
故答案为：4
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标．关键令y=0，可求直线与x轴的交点坐标；令x=0，可求直线与y轴的交点坐标．
三、计算题
16. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】原方程组化简后用代入消元法求解．
【详解】解：原方程组化简，得
，
②×5+①，得
7x=-7，
∴x=-1，
把x=-1代入②，得
-1+y=2，
∴y=3，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
17. 计算：
（1） ；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程和解不等式，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和解不等式的方法，准确计算．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可．
【小问1详解】
解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
18. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知，求的值．
（3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）
（2）4 （3）时，有最小值，最小值是
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题．
（1）按照题目中配方法进行因式分解即可；
（2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解；
（3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
，
，
；
【小问3详解】
解：
，
，
时，有最小值，最小值是．
四、证明题
19. 如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O， 垂足分别为E，F，．
（1）求证： 四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定分别进行判断即可；
（2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
，，
，
在和中，
，
，
∴，
四边形是平行四边形；
小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
五、作图题
20. 如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到，
（1）请画出平移后的图形；
（2）写出各顶点的坐标；
（3）连接和， 求出四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）根据，，的位置写出坐标即可；
（3）把四边形的面积看成长方形面积减去周围的四个三角形面积即可．
【小问1详解】
如图，△即为所求；
【小问2详解】
由（1）得，，；
【小问3详解】
四边形的面积为．
21. 如图，在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解．
【小问1详解】
解：如图， 射线即为所求，
【小问2详解】
解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
六、解答题
22. 湘桥区政府大力实施“百千万工程”，推动乡村振兴特色产业．湘桥区某水果生产基地在政府的支持下种植了、两个品种的“潮州柑”共50亩，两种品种的“潮州柑”成本和售价如下表所示．设种植品种“潮州柑”亩，若50亩地全部种植两种“潮州柑”共获得利润万元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若A品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，则种植A品种“潮州柑”多少亩时，该水果生产基地利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以写出与的函数关系式；
（2）根据品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，可以求得的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植品种“潮州柑”种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【小问1详解】
解：，
答：与之间的函数关系式．
【小问2详解】
解：由题可知：，
解得：，
又∵，
∴，
∵，
∴随x的增大而减小，
∴当时，最大为．
答：种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元．
23. 如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求AB的长
（2）求点C和点D的坐标
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）5 （2）C(8，0)；D(0，-6)
（3）P点的坐标为(0，12)或(0，-4)
【解析】
【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出OA和OB的长，再根据勾股定理即可求出AB的长；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C(8，0)．设OD=x，则DB= x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；
（3）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出BP的值，从而即得出P点坐标；
【小问1详解】
令x=0得：y=4，
∴B(0，4)．
∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，
∴A(3，0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
【小问2详解】
由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8，0)．
设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，
解得：x=6，
∴D(0，-6)；
【小问3详解】
∵，，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：BP=8，
∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
品种
成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
11
2.2
1.3
2.7