广西柳州市鹿寨县鹿寨中学2023-2024学年下学期开学考试九年级数学试题A（原卷版+解析版）

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1. 如图，所给图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程3x2－2x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 3和2B. 3和－2C. 3和－1D. 3和1
3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则布袋中白色球的个数可能是（ ）
A. 24B. 18C. 16D. 6
4. 如图，点、、均在上，若，则的度数是（ ）
A. 42°B. 24°C. 52°D. 48°
5. 将抛物线y＝（x﹣2）2+2向左平移2个单位，得到的新抛物线为（ ）
A. y＝（x﹣2）B. y＝（x﹣2）+4C. y＝x+2D. y＝（x﹣4）+2
6. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
7. 已知反比例函数，下列各点在该函数图象上的是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，圆锥底面圆的半径，高，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
11. 把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t－5t，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）
A. 1秒B. 2秒C. 4秒D. 20秒
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是( )
A. B. 3C. D.
二、填空题(每题2分，共12分)
13. 已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是_____．
14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
15. 某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，矩形的长、宽分别为7cm、4cm，EF过点O分别交AB、CD于E、F，那么图中阴影部分面积为___cm2．
17. 如图，的半径为，是的内接三角形，半径于，当时，的长是________．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM若AE＝2，则FM的长为 ___．
三、解答题(共8小题，共52分)
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，在中，对角线．
（1）尺规作图：作垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，连接，．求证：四边形是菱形．
22. 某大型运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定，某校体育社团随机调查了部分学生在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看意愿，并根据调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有____________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为____________，并补全条形统计图；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
23. 如图，已知，以为直径的交于点，点为弧的中点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的长．
24. 如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
25. 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
26. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．