重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年下学期七年级开学考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年下学期七年级开学考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1. 8的相反数是（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：8的相反数是．
故选：C．
2. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“秉承公能校训”，把它折成正方体后，与“能”相对的字是（ ）

A. 秉B. 承C. 校D. 训
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对的两个面上的文字，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“能”相对的字是为“承”．
故选：B．
3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查一批节能灯泡的使用寿命
B. 调查全国中学生每日睡眠时间
C. 为保证长征六号改运载火箭顺利完成首次发射任务，对其零部件进行检查
D. 调查中央电视台2024年春节联欢晚会的收视率
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活运用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
根据全面调查与抽样调查的特点，注意判断即可．
【详解】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B．调查全国中学生每日睡眠时间，调查的人数较多，故应当采用抽样调查，故B不符合题意；
C．为保证长征六号改运载火箭顺利完成首次发射任务，对其零部件进行检查，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D．调查中央电视台2024年春节联欢晚会的收视率，适宜采用抽样调查，故D不符合题意．
故选：C．
4. 下列单项式中，与的和为单项式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同类项．解题的关键是掌握同类项的定义，判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．直接利用同类项的定义：所含有的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，所以只要判断所含有的字母是否相同，相同字母的指数是否相同即可．
【详解】解：由同类项的定义可知，x的指数是1，y的指数是2．
A、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意；
B、x的指数是1，y的指数是1，不是同类项，故此选项不符合题意；
C、x的指数是2，y的指数是2，不是同类项，故此选项不符合题意；
D、x的指数是1，y的指数是2，是同类项，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 下列等式变形不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可．
【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意；
B、若，则，变形正确，不符合题意；
C、若，则，变形正确，不符合题意；
D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意；
故选：D．
6. 如图所示，射线在东北方向，，则的方向是（ ）
A. 南偏西B. 西偏南C. 西偏南D. 南偏西
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
由方向角的定义得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：∵射线在东北方向，
∴，
∵，
∴，
∴射线的方向是南偏西．
故选：D．
7. 《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问：人数几何？大意为：今有人合伙买金，一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100，问：有多少人合伙买金？设有x人合伙买金，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100”，结合金的价格不标，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵一人出400，则多出3400，
∴金的价格为；
∵一人出300，则多出100，
∴金的价格为．
∴根据题意可列出方程为．
故选：A．
8. 下列图形都是用同样大小的闪电图案按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个闪电图案，第②个图形中共有9个闪电图案，第③个图形中共有13个闪电图案，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中闪电图案的个数为（ ）
A. 29B. 30C. 31D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了图形类规律探究，正确理解图形的变化规律得到计算规律是解题的关键，根据前三个图形中闪电的数量得到计算规律，据此解答．
【详解】解：第①个图形中共有个闪电图案，
第②个图形中共有个闪电图案，
第③个图形中共有个闪电图案，
，
∴第⑦个图形中闪电图案的个数为，
故选A．
9. 如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查两点间的距离，关键是由线段中点定义得到，即可求出的值为．
由线段中点定义得到，由，即可得到，由线段中点定义得到，因此，即可求出的值为．
【详解】解：∵分别是线段的中点，
，
，
，
，
∵分别是线段的中点，
，
，
，
，
的值为，
故选：B．
10. 已知在数轴上的位置如图所示，化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了借助数轴判断式子的符号、整式的加减等知识，准确去掉绝对值符号是解题的关键．
根据点在数轴上的位置得到，则，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
故选：C．
11. 如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分、，若，则的度数用含α的式子表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．过点作，过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
，
，，
，
，
、分别平分、，
，，
，
，，
，
故选：A．

12. 已知两个多项式（b1≠0，且a1、m、b1是常数），（，且a2，n、b2是常数）满足，，称多项式M是多项式N的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（ ）
①多项式是多项式的“友好式”；
②若，M是N的“友好式”，且的取值与x无关，则；
③若M是N的“友好式”，且关于x的方程无解，则一定是非正数；
④当，时，若M是N的“友好式”，且关于x的方程有三个整数解，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是绝对值的有关内容，关键在于理解“友好式”的定义，将进行化简整理，进而判断正误．根据“友好式”的定义，分析这4个结论是否正确，即可得到正确结论的个数．
【详解】解：①因为，，所以这两个多项式满足“友好式”的条件，因此结论①正确；
②
，
因为M是N的“友好式”，所以，，则，
因为的取值与x无关，所以，则；
因此结论②不正确；
③因为M是N的“友好式”，则，
因为关于x的方程无解，也就是说无解，
所以，
因此m、n的取值应为一正一负，或都等于0，则mn一定是非正数；
因此结论③正确；
④根据题意，将原方程整理化简，得：，
解得：，
若，则，满足题意要求；
因此结论④不正确；
所以正确的结论有2个．
故选：B．
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分，请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上）
13. 2023年重庆迈上亿元新台阶，其中“亿元”这个数据用科学记数法可表示为_____亿元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于等于10的科学记数法，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于10的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，大长方形是由六个相同的小长方形组合而成的，其中每个小长方形的长为4，则大长方形的周长为____．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出式子是解题的关键．
由图可看出一个小长方形的长等于两个宽，从而求出宽，然后根据大长方形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵六个小长方形完全相同，
∴每个小长方形宽相等，
由图可看出一个小长方形的长等于两个宽，每个小长方形的长为4，
∴宽为2，
∴大长方形的周长为，
故答案为：28．
15. 代数式的值为2，则的值为____．
【答案】2020
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解决问题的关键．
根据题中条件得到，将化为，代值求解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式的值为2，
，
，
故答案为：2020．
16. 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大，则这个角的度数为___．
【答案】##50度
【解析】
【分析】相加等于的两角称作互为余角，也作两角互余．和是的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．
【详解】解：设这个角是，
则余角是度，补角是度，
根据题意得：
解得．
故答案为：
17. 经过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，则这个多边形是______．
【答案】9；
【解析】
【分析】本题考查多边形的对角线，根据一个顶点可以引条对角线，分成个三角形直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成七个三角形，
∴，
解得：，
故答案为：9．
18. 如图，直线相交于点O，于点O，且平分，则的度数为________．
【答案】##116度
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，掌握垂线的性质，以及角平分线定义，先根据，求出与的度数，从而根据角平分线的定义求出，然后根据角的和即可求解．
【详解】解：∵于点O，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
19. 小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每小时行9千米，两人同时同地背向而行3分钟后，小华立即掉头来追小明，则再经过____分钟小华可追上小明．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设再经过分钟小华可追上小明，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设再经过分钟小华可追上小明，
由题意得，，
解得，
∴再经过分钟小华可追上小明，
故答案为：．
20. 已知关于的方程的解为负整数，则整数的所有取值的和为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解一元一次方程得到，再根据方程的解为负整数求出符合题意的所有的a的值，最后求和即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得；，
系数化为1得：，
∵关于的方程的解为负整数，
∴或或或，
∴或或或，
∴整数的所有取值的和为
故答案为：．
21. 已知，点在直线上，以点为顶点作，点在直线上方，点在直线下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，则的度数为___．
【答案】##45度
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键．
过点作，，根据角平分线的定义得，，进而得，再根据得，然后根据得，进而根据角平分线的定义得，再证，则，，最后根据可得出答案．
【详解】解：过点作，如图所示：
设，
平分，
，，
，
，
，
，
，
平分
，
，，
，
，，
．
故答案为：．
22. 若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题属于阅读型题，主要考查了整式加减，根据“顺2差数”和“逆2差数”定义出十位数，巧妙运算也很重要．
根据“顺2差数”和“逆2差数”设的百位数字分别为，则可求出，分情况讨论求出最大值即可．
【详解】解：若数分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们个位数字均为4，设的百位数字分别为，则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为，
，
，
，
是整数，则或或或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
∵b为自然数，
∴时，存在最大值，
满足条件的有、，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而，
∴的最大值为，
故答案为：．
三、计算题（本大题3个小题，每小题8分，共24分，解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）
23. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式
．
24. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）通过去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：
，
，
，
，
，
．
25. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
首先对已知式子进行去括号、合并同类项，将其化简，然后根据非负数和为0求出x、y的值，最后代入化简后的式子中进行计算即可．
【详解】解：原式
，
，
，
原式．
四、解答题（本大题5个小题，26题8分，27-30题每题10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26. 如图，线段与线段相交于点E，点G为线段上（除C、E外）的任一点．
（1）过点G作射线，交于点F，且满足；（利用尺规作图，不写过程和结论）
（2）试说明．将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
证明：∵（已知），
且 （对顶角相等），
∴（ ）．
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴（ ）．
【答案】（1）见解析 （2）；等量代换；；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质和判定，解决此类题目的关键是熟用基本几何图形的性质．
（1）利用基本作图作；
（2）由对顶角的性质结合（1）证得，根据平行线的判定即可证的结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
【小问2详解】
证明：∵（已知），
且（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；等量代换；；两直线平行，同位角相等．
27. 为进一步落实“双减”政策，全面推进素质教育，某中学构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术、体育和劳动五类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划了解初一年级学生对五类选修课程的选择情况．学校随机抽取m名学生进行了问卷调查，将他们选择五类选修课的数量情况进行统计．现将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问题：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） ； ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“体育”类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校初一年级有1200名学生，请你估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人数之和．
【答案】（1）60；30
（2）见解析 （3）
（4）大约有540人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间的关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口．
（1）由统计图可得，人文的频数为12，占调查人数的，根据频率=频数÷总数可求出m；根据频率=频数÷总数可求出科技所占的百分比，确定m的值；
（2）求出艺术的频数即可补全条形统计图；
（3）用乘以“体育”的人数所占比例即可求出答案；
（4）样本估计整体，求出样本中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而估计整体中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而求出答案．
【小问1详解】
解：本次随机抽取的学生人数（名），
，即．
故答案为：60；30；
【小问2详解】
解：艺术的频数为（人），补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：“体育”类所对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：（人）．
答：估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人数之和大约有540人．
28. 已知：如图，点D是△ABC边CB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，点G是边AB一点，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝∠D，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】先由同位角相等，得到FGBC，再根据平行线的性质得到∠GFB＝∠FBC，继而求出∠FBC＝∠D，即可证明BFDE，再根据垂直于同一直线的两直线平行即可证明．
【详解】解：BF⊥AC，理由如下：
∠AGF＝∠ABC，
∴FGBC，
∴∠GFB＝∠FBC，
∵∠GFB＝∠D，
∴∠FBC＝∠D，
∴BFDE，
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
29. 新型农村合作医疗（简称“新农合”）推出后，很多农民看病贵、看病难的问题得到了缓解．参加新农合的农民可在规定的医院付费就医，之后按规定标准报销部分医疗费用，表①是医疗费用分段报销的标准；表②是甲、乙、丙三位参加新农合的农民门诊费、住院费及报销总费用情况．
表①
表②
注：报销总费用=门诊费报销的部分十住院费报销的部分．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）牛大爷去年和今年的住院费共计52000元，两年住院费共报销了33700元，已知去年住院费不超过20000元，求牛大爷去年住院费是多少元？
【答案】（1）30，1144，80
（2）牛大爷去年住院费是3500元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用甲的报销总费用门诊费报销比例，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；利用甲的报销总费用门诊费报销比例+住院费，可求出的值；利用丙的报销总费用门诊费报销比例超过20000元的部分，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；
（2）设牛大爷去年住院费是元，则牛大爷今年住院费是元，分及两种情况考虑，根据两年住院费共报销了33700元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得：；
；
，
解得：．
故答案为：30，1144，80；
【小问2详解】
解：设牛大爷去年住院费是x元，则牛大爷今年住院费是元，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：牛大爷去年住院费3500元．
30. 如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒．
（1）如图1，运动开始前， °；
（2）若在上方，当t为何值时，射线平分？
（3）旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）90 （2）
（3）存在，11或32
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的定义，根据角的关系列方程求解是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据列方程求解即可；
（3）分情况根据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵射线分别平分和，
，
，
，
故答案为：90．
【小问2详解】
解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故当时，射线平分．
【小问3详解】
解：存在某一时刻使得，理由如下：
①当在上方，此时有：，
即：，
解得：；
②当在下方，此时有：，
即：，
解得：；
③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，，
．
综上所述：当或32时，．医疗费用范围
门诊费
住院费（元）
的部分
的部分
20000以上的部分
报销比例




门诊费
住院费
报销总费用
甲
260元
0元
78元
乙
80元
2800元
b元
丙
400元
25000元
13620元