重庆市第八中学校2023-2024学年八年级下学期入学测试数学试题（解析版）

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年八年级下学期入学测试数学试题（解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，六名的测试成绩分别是，选择填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 点在第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了在不同象限点的坐标特征，根据点的坐标即可判断求解，熟记平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点所在的象限是第二象限，
故选：．
2. 随着新能源汽车的普及，自主汽车品牌逐渐成为市场主流，以下汽车品牌标志中，是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、B、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A、B、D不是中心对称图形，不符合题意；
C能找到一点，使C绕该点旋转180度后与原来图形重合，故C是中心对称图形，符合题意；
故选：C．
3. 若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A 1B. C. 0D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的概念是解题的关键．根据正比例函数的概念：形如，其中的函数，可知，进而求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得．
故选：A．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可，能正确在数轴上表示出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴不等式组解集是
在数轴上表示为：
故选：．
5. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6. 如图，将沿方向平移至，若，则平移距离为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应顶点的连线的长度等于平移距离．根据平移的性质解答即可．
【详解】解：∵将沿方向平移至，
∴
∵，
∴平移距离为，
故选：A．
7. 下列说法正确是（ ）
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线重合
B. 三角形的任意两边之差小于第三边
C. 若，则
D. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应线段平行且相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，绝对值的意义，图形平移的性质，据此依次对各选项逐一判断即可．解题的关键是掌握相应的性质及定理．
【详解】解：A．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．三角形的任意两边之差小于第三边，原说法正确，故此选项符合题意；
C．若，则或，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得图形中，对应线段平行且相等或在同一条直线上，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
8. 估计的值在（ ）
A. 6到7之间B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∴估计的值在8到9之间，
故选：C．
9. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
10. （多选）如图，点D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论正确的有（ ）
A. 可以由绕点A逆时针旋转得到B.
C. 点D到的距离为4D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据旋转的性质得，，由为等边三角形得到，，则把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对②④进行判断；由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】解：线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵为等边三角形，
，，
把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合，
可以由绕点逆时针旋转得到，所以A正确；
，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，所以B错误；
，
，
点到的距离为3，所以C错误；
，所以D正确．
故选AD
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡
11. 的立方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
12. 如果点在y轴上，那么点P的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，可解得m的值，从而得到点P的坐标．
【详解】解：∵在y轴上，
∴，得，
即．
即点P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0．
13. 如图为一次函数的图象，则m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的图象列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键．
【详解】解：由题意可知，一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先求出 x，y，再得出关于k的方程，即可求解．
【详解】解：由．解得，
∵．
∴
∴．
故答案为：1．
三、解答题
15. 计算
（1）因式分解：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
分析】（）先利用公式法分解因式，再提公因式即可；
（）根据不等式组解法求解即可；
本题考查了因式分解，解不等式组，熟练掌握运算法则和解法是解题关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
16. 求值：已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由可得，将整式化为，然后整体代入计算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
，
．
17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．将向左平移5个单位长度得到，再将关于原点对称得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．

（1）在图中画出，；
（2）在第（1）问的条件下，延长交于点K，求证：，请将下列证明过程补充完整．
证明：∵是由平移得到，
∴①_______，
∵与关于原点对称，
∴②_______，
∴，
∴③_______，
在中，，
④_______．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质和中心对称的性质求解即可；
（2）根据平移的性质和中心对称的性质得到，然后利用平行线的性质和判定得到，然后结合三角形外角的性质求解即可．
【小问1详解】
如图所示，，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵是由平移得到，
∴，
∵与关于原点对称，
∴，
∴，
∴，
在中，，
④．
故答案为：，，，.
【点睛】本题考查的是画平移图形，画关于原点对称的图形，平行线的性质和判定，三角形外角的性质，熟练的掌握平移的性质与中心对称的性质是解本题的关键．
18. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98．
八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．
抽取七、八年级学生测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．
【答案】（1）、、；
（2）七年级的学生测试成绩更好，理由见解析；
（3）人
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键．
（1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值；
（2）根据中位数或众数分析即可；
（3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可．
【小问1详解】
解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为，
即，
由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人，
“合格”等级有人，
八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、，
中位数为，即，，
故答案为：、、；
【小问2详解】
解：七年级的学生测试成绩更好，
理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：人，
答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人．
19. 如图，等边的边长为4，M为边的中点，动点P从B点出发，沿着方向匀速运动，到点C时停止运动，过点P作于点Q，设点P的运动路程为x，点M，Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：_______；
（3）结合函数图象，当时，自变量x的取值范围为________．
【答案】（1）；
（2）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数及其图像的性质．
（1）连接，当点P在上时，，当点P在上时，，由直角三角形的性质求解即可；
（2）描点、连线即可画出图像，再观察y的图像，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）结合图像即可求解．
【小问1详解】
解：如下图，连接，
当点P在上时，，
等边的边长为4，M为边的中点，
，
，
，
，
，
点P的运动路程为x，
，
，
，
当点P在上时，，
同理，，
同理，
，
，
综上所述，y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
函数图像如下图所示：
由图像可知：
当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大；
【小问3详解】
当时，由图像可知．
B卷
四、选择填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）
20. 关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A. 6B. 7C. 11D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解方程组得：
，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数，
∴k可取，1，，4，5，，
解关于z的不等式组得，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
，
解得：，
∴整数k为，1，，4，
其和为，
故选：A．
21. 在平面直角坐标系中，，，定义：
（1），两点的水平距离；
（2），两点的铅垂距离；
（3），两点的绝对距离．
则下列说法：
①若，，则，；
②若，，，则或-7；
③记，为平面内异于的一点，当代数式(取得最大值且时，所有可能的直线AB与坐标轴围成的封闭图形内(包含边界)共有个横纵坐标都为整数的点．正确的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，勾股定理，两点之间的距离；在①中，由题意得，，故①正确．在②中，由题意得，，故．又，故，再计算得②正确．在③中，利用勾股定理得．故．再根据题意计算③正确．
【详解】解：在①中，
若，，
；
；
①正确．
在②中，
，，
，
，
，，．
，
，
，
即，，
，舍去)，
，
或-7．
②正确．
在③中，代数式，
如图：
设，，则
设，，则
，
，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
，
．
．
设，
，
，
，
，
，
，
或，
一次函数、一次函数与坐标轴围成的图形如图所示：
围成的封闭图形内(包含边界)共有个横纵坐标都为整数的点．
③正确．
故选：D．
22. 如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为__________米．
【答案】102.5
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，设米，在中，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
∵，
∴，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长度为102.5米，
故答案为：102.5．
23. 如图，矩形中，为AB边上一点，，为CD边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在AD边上处，点的对应点为，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设交于点，过作于点，设，由折叠的性质得，，，由勾股定理得到 ，求出，得到，，由，得到，求出，由，得到，求出 ，得到，由勾股定理求出 ，由，得到，求出，得到，由矩形的性质得到，，求出 ，由勾股定理求出，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】设交于点，过作于点，
设，
∵，
∴，，
由折叠的性质得：，，，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
24. 如果一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为，千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数是“中庸数”．对于一个“中庸数”，将它的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的数，记=，，已知“中庸数”的千位数字为，十位数字为，且，为整数，，则“中庸数”为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了数的运算和整除的概念，由“中庸数”的千位数字为十位数字为且为整数，，分情况分析求值即可．
【详解】第一步，根据题目，十位数字为，为整数；
第二步，根据的定义，因为和的千位数字和十位数字互换，所以'的结果是千位和十位数字的和乘以1000，然后相加，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第三步，因为为整数，
即，都是小于10的正整数，的最大值为，
所以的取值范围是到，即到．
因为是整数，所以的可能取值是、、、、、、、、、、、19、21、；
第四步，因为；
因为的定义是，所以'的结果是千位和十位99数字的差乘以，然后相减，所以千位和百位数字的和等于十位和个位数字的和；
第五步，因为和都是小于10的正整数，最小值为，所以和的取值范围是到；
第六步，因为，的取值范围是到，所以；
第七步，因为是“中庸数”，百位数字是，个位数字是．
故答案是：．
五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）
25. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
（2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元．
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键．
（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束；
【小问2详解】
设购进腊梅m束，则购进百合束，
根据题意得：，
解得：，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，（元），
此时（束）．
答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，当时，求周长的最小值；
（3）如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，N的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）求出点E的坐标为，点B的坐标为，由，可得点C的坐标为，再用待定系数法可得的解析式为；
（2）作P关于x轴的对称点，连接交x轴于Q，此时最小，则周长的最小值，求出，，可得，故，由，由，解得，知，，即可得，，从而周长的最小值为；
（3）由，，，，知，E为的中点，故，若M为直角顶点，过N作轴于H，证明，得，，根据直线:向上平移经过点，可得直线：，设，即可得，解出m得．同理可得，若为直角顶点，为直角边，可得的坐标为或．
【小问1详解】
解：把代入
，
解得，
∴点E的坐标为，
把代入得，
∴点B的坐标为，
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
设的解析式为，
把代入得：
，
解得，
∴的解析式为；
【小问2详解】
解∶作P关于x轴的对称点，连接交x轴于Q，此时最小，则周长的最小值为，如下图所示∶
在中，
，
在中，令得，
，
∵点B的坐标为，
，
∵点E的坐标为，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
周长的最小值为；
【小问3详解】
解:存在点M，N，使是以为直角边的等腰直角三角形
，，，，
，E为的中点，
，
若M为直角顶点，过N作轴于H,
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
∵直线：向上平移经过点，
∴直线：，
设，
，
，
，
解得，
．
同理可得；
若为直角顶点，为直角边，在轴负半轴时，过作轴于，如图：
同理可得，
∵，直线：，
∴直线解析式为，
在中令得，
∴；
若为直角顶点，为直角边，在正轴负半轴时，过作轴于，如图：
同理可得，
综上所述，N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
27. 如图，点D是内一点，连接，，．
（1）如图1，当时，若，，，求的度数；
（2）如图2，以为斜边向上作等腰，连接，若，，求证：且；
（3）如图3，在第（2）问的结论下，点P为垂直平分线上一点，连接，，将绕点C顺时针旋转至，连接，，，若射线交直线于点Q，当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，，进而得出结果；
（2）作，截取，连接，可证得，从而得出，，，从而，从而推出点E、D、F、C共圆，进而得出，A、D、F共线，进而证得，从而得出，，进一步得出结论；
（3）设交于F，作，截取，延长交于，连接，可证得，从而，进而得出点B和点重合，从而得出点在与成的的边上运动，当点Q在E点处时，最小，进一步计算得出结果．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图1，
作，截取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴点E、D、F、C共圆，
∴，，
∴，，
∴A、D、F共线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图2，
设交于F，作，截取，延长交于，连接，
∴，是等边三角形，
∴，，，
∵绕点C顺时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点和点B重合，
∴点在与成的的边上运动，
∴当点Q在E点处时，最小，
如图3，
在中，，，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
如图4，
不妨设，则，作于X，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．年级
平均数
中位数
众数
“优秀”等级所占百分比
七
89.4
89
a
八
89.4
b
86