专题1.3勾股定理的实际应用【十二大题型】-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题1. 3 勾股定理的实际应用【十二大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11833" 【题型1 求梯子滑落高度】  PAGEREF _Toc11833 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12733" 【题型2 求旗杆高度】  PAGEREF _Toc12733 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32411" 【题型3 求小鸟飞行距离】  PAGEREF _Toc32411 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21489" 【题型4 求大树折断前的高度】  PAGEREF _Toc21489 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc6542" 【题型5 解一元一次不等式组】  PAGEREF _Toc6542 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc19332" 【题型6 解决水杯中筷子问题】  PAGEREF _Toc19332 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc29230" 【题型7 解决航海问题】  PAGEREF _Toc29230 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc14785" 【题型8 求河宽】  PAGEREF _Toc14785 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc7365" 【题型9 求台阶上地毯长度】  PAGEREF _Toc7365 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc16685" 【题型10 判断汽车是否超速】  PAGEREF _Toc16685 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc15245" 【题型11 选址使到两地距离相等】  PAGEREF _Toc15245 \h 37 HYPERLINK \l "_Toc26074" 【题型12 求最短路径】  PAGEREF _Toc26074 \h 41【题型1 求梯子滑落高度】【例1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．【详解】解：在Rt△ABO中, ∵ ∠AOB=90°，AB=15m，OB=12−3=9（m），∴ AO=AB2−OB2=152−92=12（m），在Rt△ABO中，∵ ∠COD=90°，CD=15m，OD=15−3=12（m），∴ OC=CD2−OD2=152−122=9（m），∴ AC=OA−OC=3（m），答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【答案】(1)墙高3米(2)竹竿的长2.5米【分析】（1）设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方 ，联立即可得到答案；（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．【详解】（1）解：设墙高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90° ，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，BO2=(x−0.6)2+0.72 ，OE2=(x−1)2+1.52，∵BO=OE ，∴(x−1)2+1.52=(x−0.6)2+0.72，解得：x=3 ，答：墙高3米；（2）由（1得），BO2=(x−0.6)2+0.72 ，x=3 ，∴BO=(3−0.6)2+0.72=2.5 答：竹竿的长2.5米．【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．【变式1-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．【答案】(1)①69−52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：AA′=1m，可得到A′C=AC−AA′=5米，由勾股定理可得B′C的长，即可求解；②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；（2）设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A′B′=2a，根据勾股定理，列出方程，可得m−n=m2+n22a，即可求解．【详解】（1）解：∠C=90°，AB=A′B′=6.5米，∴AC=AB2−BC2=6米，①根据题意得：AA′=1m，∴A′C=AC−AA′=5米，∴B′C=A′B′2−A′C2=692米，∴BB′=B′C−BC=692−2.5=69−52米，即点B将向外移动69−52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：6−x2+2.5+x2=6.52，解得：x1=3.5,x2=0（舍去），∴从A处沿墙AC下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，即竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；（2）解：不可能相等，理由如下：设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A′B′=2a，根据题意得：a−m2+a+n2=2a2，整理得：2am−n=m2+n2，即m−n=m2+n22a，∵a、m、n都为正数，∴m−n=m2+n22a>0，即m>n．∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．【答案】拉杆把手C离地面的距离为63cm【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．【详解】如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°，设A'F＝x，则AF＝55+x，由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25，∴CF＝A′C2−A′F2＝60（cm），又∵EF＝AD＝3（cm），∴CE＝60+3＝63（cm），∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【题型2 求旗杆高度】【例2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12=(AB−1)2+52．【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【答案】90cm【分析】首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．【详解】彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2+EF2＝1202+902＝150．h＝240－150＝90(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为90 cm．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【答案】(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米【分析】（1）在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；（2）利用等积法求出DH的长，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH的长．【详解】（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD=C2−BD2=252−152=20（米），所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米），答：风筝的高度CE为21.7米．（2）由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，解得：DH=15×2025=12（米）．在Rt△BHD中，BH=BD2−DH2=9（米），答：BH的长度为9米．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．【变式2-3】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】6【分析】先根据勾股定理求得AC，进而求得AD，根据勾股定理即可求得范围．【详解】由题意可知AC+BC=8,AB=4，则AC2+AB2=BC2，即AC2+42=(8−AC)2，解得AC=3，若下次大风将旗杆从D处吹断，如图，∴AD=AC−1.25=3−1.25=1.75，∴BD=AB−AD=8−1.75=6.25，AB=BD2−AD2=6.252−1.752=6．∴则距离旗杆底部周围6米范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【题型3 求小鸟飞行距离】【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．【答案】17米【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．【详解】解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225，∴BC=15（米），∵BD=AB−AD=20−12=8（米），∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=DB2+BC2=82+152=17，∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．【详解】解：如图所示，AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，在Rt△ADE中，AD＝5m．故选：C．【点睛】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．【变式3-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．【变式3-3】（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？       【答案】10千米【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度．根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D．根据题意可知，AD=8﹣3+1=6，BD=2+6=8，在Rt△ABD中，∴AB=AD2+BD2=62+82=10．答：登陆点A到宝藏处B的距离为10千米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，与勾股定理结合求线段的长度是解题的关键．【题型4 求大树折断前的高度】【例4】（2023春·八年级课时练习）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m， AC=18m．(1)求这两棵树的水平距离CF；(2)求树AB的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】（1）根据平行的性质，证得AF=CF，根据勾股定理即可求得．（2）在Rt△CEF中，根据勾股定理即可解得．【详解】（1）由题可知MP∥CF，∠F=90°    ∴∠ACF=∠NMP=45°，∴AF=CF    在Rt△ACF中，CF2+AF2=AC2，∴2CF2=18，∴AF=CF=3（m）．即这两棵树的水平距离为3m．（2）在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2  ∴CE=32+42=5，∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．即树AB的高度为6m．【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．【变式4-1】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（    ）  A．10m B．15m C．18m D．20m【答案】C【分析】如图，勾股定理求出AC的长，利用AC+BC求解即可．【详解】解：如图，由题意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，  ∴AC=AB2+BC2=13，∴这棵大树在折断前的高度为13+5=18m；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式4-2】（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P′C=10尺，秋千踏板离地的距离P′B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ．【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．【变式4-3】（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗杆距地面3m处折断；（2）如图，∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=BD2−AD2=6米，∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【题型5 判断是否受台风影响】【例5】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 秒．【答案】9【分析】过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，根据勾股定理得出BC，CD的长度，即可求出BD的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：过点A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=12OA=120米，在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，∵AB=150米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2−AC2=1502−1202=90米，CD=AD2−AC2=1502−1202=90米，即BD=180米，∵ 72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：180÷20=9秒．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿MN方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是50m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？【答案】(1)能，理由见解析(2)16【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为300米<500米，即可得出村庄能听到广播宣传．（2）根据勾股定理得到BP=BQ=5002−3002=400(米)，求得PQ=800米，即可得出结果．【详解】（1）村庄能听到广播宣传，理由如下：∵村庄A到公路MN的距离为300米<500米，∴村庄能听到广播宣传．（2）如图：假设当宣传车行驶到P点开始能听到广播，行驶到Q点不能听到广播，则AP=AQ=500米，AB=300米，由勾股定理得：BP=BQ=5002−3002=400(米)，∴PQ=800米，∴能听到广播的时间为：800÷50=16(分钟)，∴村庄总共能听到16分钟的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【答案】公路AB有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米【分析】过C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的长度，然后利用三角形的面积公式可求出CD的长，用CD的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度．【详解】解：公路AB需要暂时封锁，理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D，因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米，因为S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，所以CD=BC⋅ACAB=400×300500=240（米），由于240米<250米,故有危险，封锁长度为：2×2502−2402=140米，因此AB段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米．【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．【变式5-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】(1)要，理由见解析(2)6h【分析】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；（2）BF上分别取D、G，则△ADG是等腰三角形，由AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在GD长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】（1）解：由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320 km，则AC=160 km，因为160<200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200 km，则还有一点G，有AG=200 km．∵DA=AG，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200 km，AC=160 km，由勾股定理得，CD=DA2−AC2=2002−1602=120 km，则DG=2DC=240 km，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（h）．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．【题型6 解决水杯中筷子问题】【例6】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ）  A．4”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移动的距离为13−89米【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE=AC−BC即可求解．【详解】（1）解：∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴AC=BC+CE，（2）解：连接AB，则点A、B、F三点共线，在Rt△CAF中，AC=AF2+CF2=122+52=13（米)，∵BF=AF−AB=12−4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF2+BF2=52+82=89（米)，∵AC=BC+CE，∴ CE=AC−BC=13−89（米)，∴男孩需向右移动的距离为13−89米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．【题型9 求台阶上地毯长度】【例9】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）A．65m2 B．85m2 C．90m2 D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解： 由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．【变式9-1】（2023春·八年级课时练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高ℎ=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？【答案】60平方米【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．【详解】解：棚高ℎ=3m，棚宽a=4m，设棚顶的宽为b，则b=ℎ2+a2=32+42=5m，棚的长d为12m，∴S=b⋅d=5×12=60m2．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．【变式9-2】（2023春·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（  ）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2 =169，所以AB=13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【变式9-3】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为40元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．  【答案】560【分析】根据勾股定理得，水平的直角边为4m，地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即可得地毯的长为7m，根据地毯的宽为2米，即可得地毯的面积为14m2，即可地．【详解】解：根据勾股定理得，水平的直角边为：52−32=4(m)，地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即地毯的长为3+4=7(m)，∵地毯的宽为2米，∴地毯的面积为：2×7=14(m2)，∴幼儿园购买防撞地毯至少需要：40×14=560（元），故答案为：560．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理．【题型10 判断汽车是否超速】【例10】（2023春·山西忻州·八年级统考期中）某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．【详解】解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=BC2+AC2，可以求得BC＝40米＝0.04千米，且2秒=23600时，所以速度为=0.0423600=72千米/时，∵72>70，∴该小汽车超速了．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．【变式10-1】（2023春·江苏扬州·八年级校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60千米／时．这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】汽车没有超速，理由见解析【详解】试题分析：直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．由题意：在Rt△ABC中 AC2+BC2=AB2∵AC=50  AB=130，∴BC=120米，汽车速度=120÷8=15（米/秒）         限速60千米/时≈16.67米/秒，汽车速度＜限速，故汽车没有超速．考点：勾股定理的应用．【变式10-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？【答案】此车超过每小时80千米的限制速度．【分析】首先，根据在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根据在直角三角形APO中，∠APO=60°，运用三角函数值，可得到AO=1003，根据AB=AO-BO可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论.【详解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2−OP2＝2002−1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.∴此车超过每小时80千米的限制速度．【变式10-3】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．  (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．【答案】(1)见解析，80米(2)超速，见解析【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD长度；（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出BE的长，然后计算出速度判断即可．【详解】（1）过点A作AD⊥l，交l于点D．   ∵AB=AC，AD⊥l，BC=120∴BD=12BC=12×120=60，∠ADB=90°       在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得AD2+BD2=AB2∵AB=100,BD=60，∴AD=80   ∴新路AD长度是80米．（2）该车超速    在Rt△ADE中，∠ADE=90°，由勾股定理得AD2+DE2=AE2∵AE=170，AD=80，∴DE=1702−802=150  ∴BE=DE−DB=90∵该车经过BE区间用时5s∴该车的速度为905=18m/s  ∵18m/s>16.7m/s∴该车超速．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．【题型11 选址使到两地距离相等】【例11】（2023春·八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【答案】B【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到AD2+AE2＝BE2+BC2，则242+x2＝40﹣x2+162，解方程即可．【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=DE2,BE2+BC2=CE2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2 ，∴242+x2＝40﹣x2+162，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到AD2+AE2＝BE2+BC2是解题的关键．【变式11-1】（2023春·辽宁丹东·八年级校考阶段练习）如图，在一颗树上10米高的D处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20米处的池塘B处，另一只猴子爬到树顶A处直跃向池塘的B处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这颗树有多高?【答案】15米【分析】要求树的高度，就要求CD的高度，在直角△ABC中运用勾股定理可以列出方程式，AC2+BC2=AB2，其中AC=AD+CD．【详解】解：设CD高为x米，则从D点爬到A点再直线沿AB到B点，走的总路程为(x+AB)米，其中AB=(10+x)2+202米，而从D点到B点经过路程(20+10)米=30米，根据路程相同可得：x+(10+x)2+202=30，可得(10+x)2+202=30−x，两边平方得：(10+x)2+400=(30−x)2，整理得：80x=400，解得：x=5，10+5=15答：这棵树的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．【变式11-2】（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线AB上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km求该幼儿园E应该建在距点A为多少km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．  【答案】1km【分析】设AE=xkm，则EB=2.5−xkm．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解．【详解】解：由题意，设AE=xkm，则EB=2.5−xkm． ∵在Rt△AEC中，∠CAE=90°，∴AC2+AE2=EC2．∵在Rt△EBD中，∠EBD=90°，∴BE2+DB2=ED2．∵EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，即1.52+x2=(2.5−x)2+12，解得：x=1．答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键．【变式11-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离（结果保留整数）．【答案】商店与车站之间的距离约为31m【分析】作AB⊥l于B，先利用勾股定理求出BD的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：作AB⊥l于B，则AB=30m，AD=50m，∴BD=AD2−AB2=502−302=40m，设CD=xm，则AC=xm，BC=(40−x)m，在RtΔABC中x2=(40−x)2+302，解得x=31.25≈31(m)，答：商店与车站之间的距离约为31m．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．【题型12 求最短路径】【例12】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（　　）A．14 B．18 C．20 D．26【答案】B【分析】把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，AB=32+32=18；第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，AB=52+12=26；第三种情况：把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，AB=42+22=20；∵18<20<26，∴它爬行的最短路程为18．故选：B．【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．【变式12-1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=AB=10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米．A．20 B．85 C．24 D．610【答案】D【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵ AG=8（米），AP=AB=10（米），∴ PG=AP2−AG2=6（米），∴ BG=8+10=18（米），∴ PB=GB2+GP2=62+182=610（米）∴这只蚂蚁的最短行程应该是610米，故选：D．【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．【变式12-2】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ）A．20cm B．83cm C．433cm D．24cm【答案】A【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF的长即可．【详解】解：如图所示，SF=122+162=20(cm)．故选：A．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【变式12-3】（2023春·河南郑州·八年级校联考期末）在一张长AB=13 cm，宽AD=8 cm的长方形纸片上，如图放置一根直棱柱的木块，它的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，一只蚂蚁从点A处到点C处走的最短路程是17cm，则该四棱柱的底面边长是 cm．【答案】1【分析】将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上，然后根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图所示，将直棱柱两侧面展开拼接在长方形纸片上，AC即为最短路径，设四棱柱的底面边长是x cm，根据勾股定理得AC2=AB2+BC2，则172=13+2x2+82，解方程得x=1或x=−14（舍去），故四棱柱的底面边长是1cm，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径问题、直棱柱侧面展开图等知识，根据勾股定理列方程是解题关键.