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北师大版（2024）八年级上册8*三元一次方程组优秀精练
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这是一份北师大版（2024）八年级上册8*三元一次方程组优秀精练，文件包含专题53三元一次方程组八大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题53三元一次方程组八大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11985" 【题型1 三元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc11985 \h 1
\l "_Tc4644" 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc4644 \h 2
\l "_Tc26433" 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc26433 \h 2
\l "_Tc11033" 【题型4 用整体思想解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc11033 \h 3
\l "_Tc5298" 【题型5 构造三元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc5298 \h 4
\l "_Tc31864" 【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc31864 \h 4
\l "_Tc19368" 【题型7 三元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc19368 \h 5
\l "_Tc11778" 【题型8 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc11778 \h 6
【知识点 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2023·陕西·八年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个
【变式1-1】（2023下·八年级课时练习）三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（ ）
A．2组B．4组C．6组D．8组
【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、b、c的值为（ ）
A．a=−2b=−3c=1B．a=−2b=3c=1C．a=2b=−3c=−1D．a=2b=3c=−1
【变式1-3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2023下·重庆綦江·八年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③，先将方程①中的未知数系数排成数列32139，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．
方程①：32139
第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a
第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839
其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝4其中正确的有（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）
【变式2-1】（2023下·全国·八年级专题练习）有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5z的值是（ ）
A．−4B．3C．4D．值不能确定
【变式2-2】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）解方程组a+b+c=63a−b+c=42a+3b−c=12．
【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足x+43=y+32=z+84，且x−2y+z=12，则x= ．
【变式3-1】（2023下·八年级课时练习）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（2023下·上海杨浦·八年级校考期末）解方程组：x−43=y+14=z+25x−2y+3z=30．
【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·八年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【题型4 用整体思想解三元一次方程组】
【例4】（2023上·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z=8③
②−③得：x+y+z=2
∴x+y+z的值为2．
(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【变式4-1】（2023下·福建福州·八年级校考期末）若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是 ．
【变式4-2】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题．
已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理，得
2x+3y+x+y+z=20①3x+3y+x+y+z=27②
②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解决下面问题．
已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为 ．
【变式4-3】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=______．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．
【题型5 构造三元一次方程组求解】
【例5】（2023下·福建福州·八年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为（ ）
A．115B．−1C．1D．任意实数
【变式5-1】（2023下·上海闵行·八年级校考期中）已知x、y、z满足x−2−z+3x−3y−82+3y+3z−4=0，求x、y、z的值
【变式5-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）已知y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5，求a、b、c的值．
【变式5-3】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）对于三个有理数a、b、c，用avea,b,c表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数，若ave4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9=min4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9，则a:b:c= ．
【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】
【例6】（2023下·云南德宏·八年级统考期末）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【变式6-1】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6 ①8x+22y=10 ②时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=−1
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解2x−3y=76x−5y=9
（2）已知x､y､z，满足3x−2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值．
【变式6-2】（2023下·浙江·八年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是 ．
【变式6-3】（2023下·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3是方程组x−2y+z=0x+y+z=6的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【题型7 三元一次方程组中的数字问题】
【例7】（2023下·八年级单元测试）幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”“河图”“洛书”等．图1所示的是一个三阶幻方，在3×3的方阵图中，填写了一些数或代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．
(1)求x ，y的值；
(2)在图2中完成此方阵．
【变式7-1】（2023·福建南平·统考二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是 ．
【变式7-2】（2023上·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（ ）
A．215B．216C．217D．218
【变式7-3】（2023下·重庆綦江·八年级统考期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,∵7+0−1=6,∴701不是“幸福数”．
（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．
【题型8 三元一次方程组的应用】
【例8】（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．
(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
【变式8-1】（2023下·八年级单元测试）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？
【变式8-2】（2023下·八年级课时练习）汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？
【变式8-3】（2023下·全国·八年级期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
6
9
10
汽车运费（元/辆）
500
600
600
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11985" 【题型1 三元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc11985 \h 1
\l "_Tc4644" 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc4644 \h 2
\l "_Tc26433" 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc26433 \h 2
\l "_Tc11033" 【题型4 用整体思想解三元一次方程组】 PAGEREF _Tc11033 \h 3
\l "_Tc5298" 【题型5 构造三元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc5298 \h 4
\l "_Tc31864" 【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc31864 \h 4
\l "_Tc19368" 【题型7 三元一次方程组中的数字问题】 PAGEREF _Tc19368 \h 5
\l "_Tc11778" 【题型8 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc11778 \h 6
【知识点 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2023·陕西·八年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个
【变式1-1】（2023下·八年级课时练习）三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（ ）
A．2组B．4组C．6组D．8组
【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、b、c的值为（ ）
A．a=−2b=−3c=1B．a=−2b=3c=1C．a=2b=−3c=−1D．a=2b=3c=−1
【变式1-3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2023下·重庆綦江·八年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③，先将方程①中的未知数系数排成数列32139，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．
方程①：32139
第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a
第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839
其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝4其中正确的有（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）
【变式2-1】（2023下·全国·八年级专题练习）有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5z的值是（ ）
A．−4B．3C．4D．值不能确定
【变式2-2】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）解方程组a+b+c=63a−b+c=42a+3b−c=12．
【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足x+43=y+32=z+84，且x−2y+z=12，则x= ．
【变式3-1】（2023下·八年级课时练习）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（2023下·上海杨浦·八年级校考期末）解方程组：x−43=y+14=z+25x−2y+3z=30．
【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·八年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【题型4 用整体思想解三元一次方程组】
【例4】（2023上·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z=8③
②−③得：x+y+z=2
∴x+y+z的值为2．
(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【变式4-1】（2023下·福建福州·八年级校考期末）若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是 ．
【变式4-2】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题．
已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理，得
2x+3y+x+y+z=20①3x+3y+x+y+z=27②
②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解决下面问题．
已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为 ．
【变式4-3】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=______．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．
【题型5 构造三元一次方程组求解】
【例5】（2023下·福建福州·八年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为（ ）
A．115B．−1C．1D．任意实数
【变式5-1】（2023下·上海闵行·八年级校考期中）已知x、y、z满足x−2−z+3x−3y−82+3y+3z−4=0，求x、y、z的值
【变式5-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）已知y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5，求a、b、c的值．
【变式5-3】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）对于三个有理数a、b、c，用avea,b,c表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数，若ave4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9=min4a+3b2,9b+4c6,6c+5a9，则a:b:c= ．
【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】
【例6】（2023下·云南德宏·八年级统考期末）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【变式6-1】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6 ①8x+22y=10 ②时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=−1
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解2x−3y=76x−5y=9
（2）已知x､y､z，满足3x−2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值．
【变式6-2】（2023下·浙江·八年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是 ．
【变式6-3】（2023下·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3是方程组x−2y+z=0x+y+z=6的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【题型7 三元一次方程组中的数字问题】
【例7】（2023下·八年级单元测试）幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”“河图”“洛书”等．图1所示的是一个三阶幻方，在3×3的方阵图中，填写了一些数或代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．
(1)求x ，y的值；
(2)在图2中完成此方阵．
【变式7-1】（2023·福建南平·统考二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是 ．
【变式7-2】（2023上·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（ ）
A．215B．216C．217D．218
【变式7-3】（2023下·重庆綦江·八年级统考期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,∵7+0−1=6,∴701不是“幸福数”．
（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．
【题型8 三元一次方程组的应用】
【例8】（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．
(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
【变式8-1】（2023下·八年级单元测试）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？
【变式8-2】（2023下·八年级课时练习）汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？
【变式8-3】（2023下·全国·八年级期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
6
9
10
汽车运费（元/辆）
500
600
600
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