专题7.10 平行线的证明章末九大题型总结（培优篇）-八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题7.10 平行线的证明章末九大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc5813" 【题型1 对顶角、邻补角的运用】  PAGEREF _Toc5813 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12715" 【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】  PAGEREF _Toc12715 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15194" 【题型3 添加条件判定平行】  PAGEREF _Toc15194 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28168" 【题型4 由平行线的性质求角度】  PAGEREF _Toc28168 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2168" 【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】  PAGEREF _Toc2168 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31914" 【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】  PAGEREF _Toc31914 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1214" 【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】  PAGEREF _Toc1214 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc28917" 【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】  PAGEREF _Toc28917 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18345" 【题型9 三角形的内角和与外角有关的计算】  PAGEREF _Toc18345 \h 11【题型1 对顶角、邻补角的运用】【例1】（2023下·天津蓟州·八年级统考期中）如图，下列说法正确的是（　　）A．∠1和∠4互为内错角 B．∠2的同位角只有∠4C．∠6和∠7互补 D．∠2和∠1互为邻补角【变式1-1】（2023下·浙江·八年级统考期末）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（    ）A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角【变式1-2】（2023上·福建泉州·八年级统考期末）如图所示，图中同旁内角的数量共有（    ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对【变式1-3】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，下列说法正确的是（   ）①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角  A．①② B．②③ C．①③ D．②④【题型2 同位角、内错角、同旁内角的识别】【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）【变式2-1】（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3的余角是∠4，若∠4=55°，则∠1＝ °．【变式2-2】（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90°．若∠ADE与∠ADC的度数之比为1:3，则∠CDF的度数是 °．  【变式2-3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．【题型3 添加条件判定平行】【例3】（2023下·湖北孝感·八年级统考期中）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（    ）  A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°【变式3-1】（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，A，D，E三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使AB∥CD（填一个即可）．  【变式3-2】（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠D=∠5，则一定能判定AB∥CD的条件有 (填写所有正确的序号)．  【变式3-3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=120°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（           ）   A．∠BOE=60° B．∠DOF=30°C．∠AOF=30° D．∠BOE+∠AOF=90°【题型4 由平行线的性质求角度】【例4】（2023下·云南昆明·八年级统考期末）已知，在同一平面内，∠ABC=110°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB度数为 ．【变式4-1】（2023下·北京朝阳·八年级校考期末）如图，a∥c,b∥d，∠1=30°，求∠3的度数．  【变式4-2】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠G=∠FEH=90°，∠GEF=45°，∠H=60°，若∠AEG=26°，则∠DFH= ．  【变式4-3】（2023下·贵州黔南·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠DCE=90°，点E在线段AB上，∠FCG=90°，点F在直线AD上，∠AHG=90°．  (1)图中与∠D相等的角有__________；(2)若∠ECF=25°，求∠BCD的度数；(3)在（2）的条件下，点C（点C不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求∠BAF的度数．【题型5 由平行线的判定与性质判断多结论问题】【例5】（2023下·重庆云阳·八年级校联考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正确结论的个数有（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（2023下·四川南充·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，∠C=∠EDF，则下列结论错误的是（    ）A．∠ADE=∠B B．DF∥AC C．∠BFD=∠AED D．∠B+∠CED=180°【变式5-2】（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，EF是△DEC的角平分线，有下列四个结论： ①∠BDE=∠DBE； ②EF∥BD； ③∠CDE=∠ABC； ④S四边形ABED=S△ABF．其中，正确的是（    ）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【变式5-3】（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③GK∥CD；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型6 在平行线中添加推理依据进行证明】【例6】（2023下·北京东城·八年级北京二中校考期末）补全证明过程，并在（    ）内填写推理的依据．已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠1，求证：AD是∠BAC的角平分线．  证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC∴∠EGD=∠ADC=90°（①___________）∴AD∥EG（②___________）∴∠E=∠③___________，∠1=∠BAD（④___________）∵∠E=∠1∴∠CAD=∠BAD∴AD是∠BAC的角平分线（⑤___________）【变式6-1】（2023下·山东临沂·八年级统考期末）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠4，试判断∠ACB与∠3的大小关系，并说明理由．  解：∠ACB=∠3，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵（______）+∠2=180°（邻补角定义）∴（______）=∠1（__________________）∴（______）∥AB（__________________）∴∠AFE=∠4（__________________）∵∠B=∠4，∴（______）=∠B（__________________）∴EF∥BC（__________________）∴∠ACB=∠3（__________________）【变式6-2】（2023下·重庆彭水·八年级校联考期末）推理填空：如图，点D，E，H分别在△ABC的边AB，BC，AC上，连接DE，过点C作CF交DH的延长线于点F且满足∠B+∠BCF=180°；若DE∥AC，∠1=∠3．求证：∠B=∠F．  证明：∵DE∥AC（已知）∴∠1= （两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠3（已知）∴∠3=∠2（ ）∴DF∥BC（ ）∴∠4=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠B+∠BCF=180°（已知）∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）∴∠4= （两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠F（等量代换）【变式6-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求证FG⊥AB．证明：∵∠AED=∠C∴DE∥BC（                           ）∴∠DEF=∠EFC（                           ）∵∠DEF=∠B∴∠EFC=∠B∵∠EFC+∠EFB=180° ∴∠B+∠EFB=180°（                           ）∴DB∥EF（                           ）∴∠AGF+∠EFG=180°（                           ）∵∠EFG=90° ∴∠AGF=90° ∴FG⊥AB（                           ）【题型7 利用平行线的判定及性质求角度】【例7】（2023下··浙江·八年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．【变式7-1】（2023上·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，∠1+∠2=180°,∠A=∠3．  (1)求证：AB∥CD；(2)若∠B=78°,∠BDE=2∠3，求∠DEA的度数．【变式7-2】（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，∠DAF=∠BCD，∠F=∠ECF． (1)试说明：AD∥BC；(2)如图2，连接AC，已知AC⊥CF，∠ECF=m∠BCF．①当m=1时，∠DAF=62°，求∠ACB的度数；②若∠ACD+∠ABC=150°，则∠D=__________．（用含m的代数式表示）【变式7-3】（2023下·浙江·八年级期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a,b，且a//b,△ABC是直角三角形，∠BCA=90°，操作发现：（1）如图1．若∠1=48°，求∠2的度数；（2）如图2，若∠A=30°,∠1的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，请说明理由．（3）如图3，若∠A=30°，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并说明理由．【题型8 利用平行线的判定及性质进行证明】【例8】（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，AB∥CD ，连接BD，E是直线FD上的一点，∠ABC=140°，∠CDF=40°．  (1)判断BC与EF平行吗？为什么？(2)若BD∥AE，∠BAE=110°，则BD是否平分∠ABC？请说明理由．【变式8-1】（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF．  【变式8-2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期末）如图，已知BC∥AD,∠C=∠A,∠3=∠4．求证：  (1)AB∥CD(2)∠1=∠2【变式8-3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．(1)如图1，当点G在F右侧时，求证：BD//EF；(2)如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE=∠BDG+∠FEG；(3)如图3，在2的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠DBF−∠DNG=∠EDN，则∠DBF的度数是多少．【题型9 三角形的内角和与外角有关的计算】【例9】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC至点D、E．  【特殊化思考】若∠A=∠F时，请尝试探究：（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图④）时，都有CG∥BH，请选择一幅图进行证明；  【一般化探究】若∠A<∠F时，请尝试探究：（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD=1n∠DBF．当CG∥BH时，直接写出∠A与∠F需满足的条件：__________．【变式9-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知，CD∥AB，点E在BD延长线上，且∠BEF=70°，点H在AB上，HF交BD于G点．  (1)求证：∠AHF>∠CDE；(2)若∠AHF−∠CDE=30°，求∠F的度数【变式9-2】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0