专题8.4期末复习之解答压轴题十二大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（北师大版）

这是一份专题8.4期末复习之解答压轴题十二大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（北师大版），文件包含专题84期末复习之解答压轴题十二大题型总结北师大版原卷版docx、专题84期末复习之解答压轴题十二大题型总结北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共112页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17" 【题型1 两条直线相交问题】 PAGEREF _Tc17 \h 1
\l "_Tc4496" 【题型2 与一次函数有关的面积的计算】 PAGEREF _Tc4496 \h 3
\l "_Tc7547" 【题型3 与一次函数图像有关的应用】 PAGEREF _Tc7547 \h 5
\l "_Tc16628" 【题型4 与一次函数性质有关的应用】 PAGEREF _Tc16628 \h 6
\l "_Tc10122" 【题型5 探究函数的图像及其性质】 PAGEREF _Tc10122 \h 8
\l "_Tc19634" 【题型6 平行线中探究旋转中的角度问题】 PAGEREF _Tc19634 \h 10
\l "_Tc11950" 【题型7 平行线中探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc11950 \h 12
\l "_Tc16335" 【题型8 勾股定理在格点中的运用】 PAGEREF _Tc16335 \h 14
\l "_Tc9440" 【题型9 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc9440 \h 16
\l "_Tc13118" 【题型10 利用勾股定理解决实际问题】 PAGEREF _Tc13118 \h 18
\l "_Tc31394" 【题型11 数式或图形中新定义问题】 PAGEREF _Tc31394 \h 20
\l "_Tc2926" 【题型12 数式或图形的规律探究】 PAGEREF _Tc2926 \h 21
【题型1 两条直线相交问题】
【例1】（2023上·山西太原·八年级统考期末）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC．点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线BC于点F．设点D的横坐标为m．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)当m=−3时，求△BEF的面积；
(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．①当m=2时，点G的坐标为 ；
②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，m的值为 ．
B．①用含m的代数式表示点G的坐标为 ；
②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=12AG时，m的值为 ．
【变式1-1】（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B，且OB=2OA．

(1)求直线AB的解析式；
(2)①若另一条直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点P，求点P的坐标；
②直接写出a的取值范围．
(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），试写出a取值范围．
【变式1-2】（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=−x−2交y轴于点B，交直线l1于点P−3,m．

(1)求直线l1的解析式；
(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当MN=3时，求a的值；
(3)点Q为l2上一点，若S△APQ=13S△APB，直接写出点Q的坐标．
【变式1-3】（2023上·山西太原·八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为(3.5,0)，点P的横坐标为2．
(1)直接写出点A、B、P的坐标；
(2)求出直线l2的函数表达式；
(3)如图1，求ΔADP的面积；
(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m，则：
①用m表示点M、N的坐标：M: ，N: ；
②线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；
③ΔANP的面积用s表示，写出s与m的函数关系式．
【题型2 与一次函数有关的面积的计算】
【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP．

(1)如图1，求出△AOP的面积；
(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若△APC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标．
【变式2-1】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A−5，2，B−1，2，直线y=kx−1与y轴相交于C点，与线段AB交于P点

(1)求△ABC的面积；
(2)若点A和点B在直线y=kx−1的两侧，求k的取值范围；
(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出k的值．
【变式2-2】（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，−1,4，将此函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图像为直线l′，
(1)求直线l的函数表达式；
(2)求直线l、直线l′及y轴围成三角形的面积；
(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l′交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点，求点P的坐标．
【变式2-3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点C的直线y−x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,y是第二象限的点，设△AOC的面积为S．

(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；
(2)当△AOC的面积为6时，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标．
【题型3 与一次函数图像有关的应用】
【例3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）．图中的折线表示y与x之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；
(2)求动车和普通列车的速度；
(3)求C点坐标和直线CD解析式；
(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．
【变式3-1】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1、y2与x的关系如图所示．

(1)B、C两港口间的距离为______km，a=______；
(2)甲船出发几小时追上乙船？
(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km？
【变式3-2】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF−FM−MN为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；
(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．
①图2中m的值为___________．
②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．
【变式3-3】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；
(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：
(3)若乙容器底面积为900mm2（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积．
【题型4 与一次函数性质有关的应用】
【例4】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．
(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；
(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【变式4-1】（2023下·河北邢台·八年级统考期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：
(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？
(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．
①求y与x的函数关系式．
②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？
【变式4-2】（2023下·湖北荆门·八年级统考期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨．
(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0【变式4-3】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0【题型5 探究函数的图像及其性质】
【例5】（2023下·江西抚州·八年级南城县第二中学校考阶段练习）有这样一个问题：探究函数y=−2|x|+1的图像与性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y=−2|x|+1的图像与性质进行了探究．
(1)①函数y=−2|x|+1的自变量x的取值范围是_____________；
②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：
(3)函数y1=−2|x|和函数y2=−2|x+1|+1的图像如图所示，观察函数图像可发现：
①y1=−2|x|的图像向___________平移________个单位长度得到y=−2|x|+1，y2=−2|x+1|+1的图像向___________平移________个单位长度得到y=−2|x|+1；
②当−2|x|+1=−2|x+1|+1时，x＝_____________；
③观察函数y2=−2|x+1|+1的图像，写出该图像的一条性质．
【变式5-1】（2023上·重庆潼南·八年级校联考期末）如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=4，AC=3，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B−C−A方向运动到A点停止，设y=S△ABP，点P的运动时间为x秒．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质
(3)结合作出的图像直接写出它与函数y=x+1相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）
【变式5-2】（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），则称函数y=−kx+bx≥0kx+bx<0为一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0）的关联函数．
【理解运用】例如：一次函数y=−2x+1，它的关联函数为y=2x+1x≥0−2x+1x<0．
(1)点P−2,m在一次函数y=−2x+1的关联函数的图像上，则m的值为______；
(2)已知一次函数y=−2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数y=−2x+1，它的关联函数为y=2x+1x≥0−2x+1x<0的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表，
②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数y=−2x+1的关联函数的图像；
③若−1≤x≤2，则y的取值范围为______；
【拓展提升】
(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为−1，4、2，2，连接MN．直接写出线段MN与一次函数y=−2x+b的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______．
【变式5-3】（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义a=a(a≥0)−a(a<0)
阳阳结合上面的学习过程，对函数y=|2x−1|的图象与性质进行了探究．
(1)① 化简函数y=|2x−1|的表达式：当x≥12时，y= ，当x＜12时，y= ；
② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)函数y1=|2x−1|+1的图象可由y=|2x−1|的图象向上平移1个单位得到；
① 当0≤x<3时，y1的取值范围是 ；
② 当2≤y1≤5时，x的取值范围是 ；
③ 当m【题型6 平行线中探究旋转中的角度问题】
【例6】（2023下·浙江宁波·七年级校联考期末）如图，直线GH∥MN，一副三角板按如图1摆放，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°．保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，则经过 秒边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行．

【变式6-1】（2023下·江西九江·七年级统考期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A=30°,∠B=60°,∠C=∠D=45°）

(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是________；
②∠BOD与∠AOC的数量关系是________．
(2)小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
【变式6-2】（2023下·山西长治·七年级长治市第六中学校校考期末）(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点C，D，A，F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为MN，PQ，∠BAC=30°，∠DEF=45°，AB与DE相交于点O，则∠BOE的度数是______．
(2)将图1中的三角板ABC和三角板DEF分别绕点B，F按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中BA平分∠MBC，求∠PFA的度数．
(3)将图1位置的三角板ABC绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板DEF不动，在此过程中，经过______秒边AB与边DE互相平行．

【变式6-3】（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上的一点，点E在直线AB，CD之间，∠BME=α，∠DNE=β．

(1)直接写出∠MEN的度数为___________（用含α、β的式子表示）；
(2)如图2，若NF平分∠END，MG平分∠AME，直线NF与直线MG相交于点G，当∠MEN=90°时，求∠MGF的度数；
(3)如图3，若∠BME=120°，将ME绕M点以1°/秒的速度逆时针旋转，ND绕N点以4°/秒的速度逆时针旋转，当ME旋转了120°时，两者同时停止，则在整个转动过程中，t=___________秒时，ME∥ND．
【题型7 平行线中探究角度之间的关系】
【例7】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，GE平分∠AEF，GF平分∠CFE．

(1)如图1，求∠EGF的度数：
(2)如图2，∠CFH=13∠CFG，∠CEH−n∠AFH，∠EHF=30°，求n的值；
(3)如图3，延长EG交CD于点K，点M在射线KF上（点M不与点K，F重合）．EN平分∠MEF，画出图形，写出∠KEN与∠EMF之间的数量关系，并说明理由．
【变式7-1】（2023下·安徽亳州·七年级统考期末）已知直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
(1)如图1，请说明∠MEN=∠AME+∠ENC；
(2)如图2，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数：
(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=3∠EMN，∠GEK=3∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系．
【变式7-2】（2023下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝AB在C，D，E处弯折得到如下图①的形状，其中AC∥DE，CD∥BE．
第二步：将DE绕点D旋转一定角度，再将BE绕点E旋转一定角度并在BE上某点F处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成∠G，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若∠C=2∠D，求∠E；
(2)如图②，若AC∥BF，请判断∠C，∠D，∠E，∠F之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，设∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）
【变式7-3】（2023下·浙江杭州·七年级校联考期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．
(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ______ ．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB= ______ ．
【题型8 勾股定理在格点中的运用】
【例8】（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都在格点上，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，画出格点C，使∠ABC=45°．
(2)在图2中，在AC上画点E，使∠AEB=∠ABC．
(3)在图3中，点D是AB上一点，在AB的下方画∠ADF=45°．
【变式8-1】（2023下·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）问题背景：在△ABC 中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出 △ABC 的面积为 ．
（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2m>0,n>0,且m≠n 运用构图法求出这三角形的面积．
【变式8-2】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
【变式8-3】（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上． 按要求在图①，图②，图③中画图．
（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.

【题型9 以弦图为背景的计算】
【例9】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）(1)四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为15，每个三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积．
(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．(要求：先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)
【变式9-1】（2023上·河南郑州·八年级郑州市第三中学校考期末）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
【变式9-2】（2023上·浙江·八年级专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．

(1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的15，求直角三角形的长直角边AC的长；
(2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．
【变式9-3】（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；
②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．
(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；
(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系______．
【题型10 利用勾股定理解决实际问题】
【例10】（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【变式10-1】（2023上·广东深圳·八年级统考期末）美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图，一个身高1.6米的学生刚走到A处（学生头顶在B处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？

【变式10-2】（2023上·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期末）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．
【变式10-3】（2023上·江苏南京·八年级统考期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
【题型11 数式或图形中新定义问题】
【例11】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=3，则该三角形的面积为___；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的长．
【变式11-1】（2023上·北京海淀·八年级人大附中校考期末）（2023上·福建莆田·八年级校考开学考试）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”．
(1)若m=3,n=1．试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由；
(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P．求点P坐标（用p表示）
(3)在（2）的条件下，若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围．
【变式11-2】（2023下·福建龙岩·八年级校联考期末）新定义：若无理数T的被开方数(T为正整数)满足n2(1)17的“青一区间”为 ；−23的“青一区间”为 ；
(2)若无理数a(a为正整数)的“青一区间”为2,3，a+3的“青一区间”为3,4，求3a+1的值．
(3)实数x，y，满足关系式：x−3+2023+y−42=2023，求xy的“青一区间”．
【变式11-3】（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程ax+by+c=0的解，则称Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3三点共线．（如：点P(2,3)的横坐标x=2与纵坐标y=3的有序实数对为x=2y=3是方程3x−4y+6=0的解．）
(1)已知方程2x−3y+5=0，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？
A−1,1，B2,3，C0,−53，D1,73．请写出判断过程．
(2)已知方程a−1x+2y+a=0，
①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解：
②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点N2,t+1，P3,2−t与点M三点共线，求a与t的值．
【题型12 数式或图形的规律探究】
【例12】（2023下·北京西城·八年级北京八中校考期末）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729；
(1)小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由203<19000<303；猜想19683的立方根的十位数为_______，可得19683的立方根；
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①3−117649=______，②30.531441=______．
【变式12-1】（2023下·安徽芜湖·八年级校联考期末）如图，每个小方格边长为1，已知点A1(1,0)，A2(1,1)，A3(−1,1)，A4(−1,−1)，A5(2,−1)，A6(2,2)，A7(−2,2)，A8(−2,−2)，…
(1)将图中的平面直角坐标系补画完整；
(2)按此规律，请直接写出点的坐标：A9 ，A10 ；
(3)按此规律，则点A2022的坐标为 ．
【变式12-2】（2023下·上海·八年级上海市市西初级中学校考期末）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
12+1=22；
22+1=32；
32+1=42；⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于7的长度；
（4）若S表示三角形面积，S1=S△OP1P2，S2=S△OP2P3，S3=S△OP3P4 ⋅⋅⋅，计算出S12+S22+S32+⋅⋅⋅+S102的值．
【变式12-3】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期末）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
租金/（元/辆）
载客量/（座/辆）
甲种客车
1700
45
乙种客车
2000
60
商品
进价
售价
乒乓球拍（元/套）
a
45
羽毛球拍（元/套）
b
52
x
…
－5
－3
－1
0
1
3
5
…
y
…
…
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
5
3
1
3
5
…