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河北省秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试 数学
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这是一份河北省秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试 数学，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，，则为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇偶性与有关
4. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
9. 负实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
11. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
13. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，，使得
14. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15. 已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．
16. 已知函数为奇函数，则________．
17. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.
18. 若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．
四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 设：；：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求当时，函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
21 已知函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．
22. 某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
23. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
（2）已知，，且，若，证明：．
2023级高一第一学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵∴
又∵∴故选B；
【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；
【突破】：画韦恩氏图，数形结合；
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 已知，，则为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇偶性与有关
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】函数的定义域为，
，
函数偶函数.
故选：B．
4. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值范围，即可判断ABC；
对于函数，可得关于的方程有解，得，即可得出y的范围，即可判断D.
【详解】解：对于函数，由于，则，故它的值域不是，故A不满足题意；
对于函数，由于，则，故它的值域不是，故B不满足题意；
对于函数，由于，则，故它的值域不是，故C不满足题意；
对于函数，可得关于的方程有解，
∴，∴可以取任意实数，即，故D满足条件.
故选：D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意知，不等式的解集为，
即为不等式在上恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，满足题意；
当时，即时，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
7. 已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的减函数，
所以有.
故选：C.
8. 某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.
【详解】由题意可知，且，所以，
所以化为，
，解得.
故选：C
9. 负实数，满足，则最小值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件消参 ,再应用基本不等式求解即可
【详解】根据题意有，故，
当且仅当，时取等号．
故选：
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
11. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，，由此根据值域可确定函数定义域，即可求解.
【详解】因为为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，，，
令，解得，，
故要想在上的值域为，则要，
结合选项知，实数的值可以是2和3.
故选：BC
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断A，根据必要条件及特例法判断B，根据一元二次方程异号根的充要条件判断C，根据集合运算得，然后分类讨论求解参数判断D.
【详解】对于A，令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为，A错误；
对于B，若，不一定得到，例如：，，
故“”不是“”的必要条件，B错误；
对于C，有一正一负根，则需要满足，，
故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，C正确；
对于D，，要使，进一步可得，故当时，显然满足，此时，
当时，此时，解得，符合题意，
当时，此时，解得，符合题意，
综上可知实数的集合为，故D正确.
故选：CD
13. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，，，作出大致函数图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】解；因为函数定义在上的函数，
所以由①：，，所以函数为偶函数，
又因为由②知：，，当时，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又因为，所以，
作出函数的大致图象，如图所示：
对于A：因为函数在上单调递减，因此，故A错误；
对于B：因为定义在上的偶函数在上单调递增且连续，且，
所以，即，解得，即，故B正确；
对于C、因为，，
因为函数为偶函数，在单调递增，
所以由或，解得或，即，因此C正确；
对于D、由C知是函数的最小值，
因此，，使得，因此D正确，
故选：BCD．
14. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】因为为正实数，由，得，然后对条件进行配凑变形，利用基本不等式对选项一一分析即可确定答案.
【详解】A选项，因为为正实数，
则，
令，，则，解得，
所以，
即，即，
当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，A错误；
B选项，由，得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时取得最小值，B正确；
选项C，，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为，即C正确；
选项D，，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时取得最小值，D错误．
故选：BC．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15. 已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数定义可知，求解后根据函数对称性验证即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，即，
解得或，
当时，为奇函数，不满足题意；
当时，的图象关于y轴对称，满足题意.
所以，.
故答案为：2
16. 已知函数为奇函数，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】计算出，根据函数奇偶性得到，从而得到.
【详解】由题可得，因为为奇函数，
所以，即，解得.
故答案为：4
17. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴与区间的位置关系列不等式即可求解.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调，且区间有意义，
所以或，解得或，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
18. 若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知域同区间的定义，分函数在区间上单调递减和单调递增两种情况分类，列出方程组讨论结果，即可得到答案．
【详解】若，则在上单调递减，所以
得，所以，，
则，又因为，所以，
则有，所以，
当时，在上单调递增，所以
则关于x的方程有两个不同的非负根，所以解得，
综上可知.
故答案为：
四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 设：；：.若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】平方化简求解命题成立的范围，解一元二次不等式得命题成立的范围，再根据是的充分不必要条件列不等式组求解即可.
【详解】：由，两边平方得，解得.
（也可以根据绝对值得性质直接去绝对值求解）
：，化为，解得.
因为是的充分不必要条件，
所以，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求当时，函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；
（2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.
【小问1详解】
设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
所以
即当时，函数的解析式为，
【小问2详解】
由，得，
因为为奇函数，所以，
当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为
21. 已知函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）利用换元法令，则，由求得，所以；（2）根据（1）有，对称轴为，函数左减右增，最大值在两端取得，、，当时，，当时，，，.
（1）令，则，又，
，即.
（2），
图像对称轴为，
在上是减函数，在上是增函数，
在上的最大值为或，
又，，
当时，，当时，，，.
22. 某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）38万部时，最大利润为7170万元.
【解析】
【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【小问1详解】
依题意，生产万部手机，成本是（万元），
故利润，而，
故，
整理得，；
【小问2详解】
时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，因 ，故 时，取得最小值
故在 时，y取得最大值
而，
故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.
23. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
（2）已知，，且，若，证明：．
【答案】（1），单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义、可求得的值，得出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论；
（2）证法一：利用得，再由基本不等式可得答案；证法二：判断出在上单调递减,在区间上单调递增，得出，，要证，即证，利用分析法证明可得答案.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，，
所以，解得，所以，
且，函数是定义域为的奇函数，
设，则
，因为，所以，
所以，，
所以函数在区间上单调递减；
【小问2详解】
证法一：由题意，，则有，
因为，所以，即，
所以，得证．
证法二：由（1）知，在上单调递减,
设，则，
因为，所以，
所以，，
所以函数在区间上单调递增；
因为，，，所以，，
所以要证，即证，
即证，即证，
代入解析式得，即证，
化简整理得，即证，
因为，显然成立，所以原不等式得证，所以．
1. 设集合，则
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，，则为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇偶性与有关
4. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A B.
C. D.
9. 负实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
11. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
13. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，，使得
14. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15. 已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．
16. 已知函数为奇函数，则________．
17. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.
18. 若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．
四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 设：；：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求当时，函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
21 已知函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．
22. 某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
23. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
（2）已知，，且，若，证明：．
2023级高一第一学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵∴
又∵∴故选B；
【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算；
【突破】：画韦恩氏图，数形结合；
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3. 已知，，则为（ ）
A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 奇偶性与有关
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】函数的定义域为，
，
函数偶函数.
故选：B．
4. 下列函数中，值域为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值范围，即可判断ABC；
对于函数，可得关于的方程有解，得，即可得出y的范围，即可判断D.
【详解】解：对于函数，由于，则，故它的值域不是，故A不满足题意；
对于函数，由于，则，故它的值域不是，故B不满足题意；
对于函数，由于，则，故它的值域不是，故C不满足题意；
对于函数，可得关于的方程有解，
∴，∴可以取任意实数，即，故D满足条件.
故选：D.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意知，不等式的解集为，
即为不等式在上恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，满足题意；
当时，即时，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
7. 已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数是R上的减函数，
所以有.
故选：C.
8. 某同学解关于不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.
【详解】由题意可知，且，所以，
所以化为，
，解得.
故选：C
9. 负实数，满足，则最小值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件消参 ,再应用基本不等式求解即可
【详解】根据题意有，故，
当且仅当，时取等号．
故选：
10. 已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
二、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
11. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，，由此根据值域可确定函数定义域，即可求解.
【详解】因为为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，，，
令，解得，，
故要想在上的值域为，则要，
结合选项知，实数的值可以是2和3.
故选：BC
12. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
D. 已知集合，，全集，若，则实数的取值集合为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断A，根据必要条件及特例法判断B，根据一元二次方程异号根的充要条件判断C，根据集合运算得，然后分类讨论求解参数判断D.
【详解】对于A，令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为，A错误；
对于B，若，不一定得到，例如：，，
故“”不是“”的必要条件，B错误；
对于C，有一正一负根，则需要满足，，
故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，C正确；
对于D，，要使，进一步可得，故当时，显然满足，此时，
当时，此时，解得，符合题意，
当时，此时，解得，符合题意，
综上可知实数的集合为，故D正确.
故选：CD
13. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，，，作出大致函数图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】解；因为函数定义在上的函数，
所以由①：，，所以函数为偶函数，
又因为由②知：，，当时，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又因为，所以，
作出函数的大致图象，如图所示：
对于A：因为函数在上单调递减，因此，故A错误；
对于B：因为定义在上的偶函数在上单调递增且连续，且，
所以，即，解得，即，故B正确；
对于C、因为，，
因为函数为偶函数，在单调递增，
所以由或，解得或，即，因此C正确；
对于D、由C知是函数的最小值，
因此，，使得，因此D正确，
故选：BCD．
14. 已知为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】因为为正实数，由，得，然后对条件进行配凑变形，利用基本不等式对选项一一分析即可确定答案.
【详解】A选项，因为为正实数，
则，
令，，则，解得，
所以，
即，即，
当且仅当即时等号成立，
故的最大值为，A错误；
B选项，由，得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时取得最小值，B正确；
选项C，，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为，即C正确；
选项D，，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时取得最小值，D错误．
故选：BC．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
15. 已知幂函数的图象是轴对称图形，则实数_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数定义可知，求解后根据函数对称性验证即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，即，
解得或，
当时，为奇函数，不满足题意；
当时，的图象关于y轴对称，满足题意.
所以，.
故答案为：2
16. 已知函数为奇函数，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】计算出，根据函数奇偶性得到，从而得到.
【详解】由题可得，因为为奇函数，
所以，即，解得.
故答案为：4
17. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴与区间的位置关系列不等式即可求解.
【详解】二次函数的对称轴为，
因为函数在区间上单调，且区间有意义，
所以或，解得或，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
18. 若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知域同区间的定义，分函数在区间上单调递减和单调递增两种情况分类，列出方程组讨论结果，即可得到答案．
【详解】若，则在上单调递减，所以
得，所以，，
则，又因为，所以，
则有，所以，
当时，在上单调递增，所以
则关于x的方程有两个不同的非负根，所以解得，
综上可知.
故答案为：
四、解答题（共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 设：；：.若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】平方化简求解命题成立的范围，解一元二次不等式得命题成立的范围，再根据是的充分不必要条件列不等式组求解即可.
【详解】：由，两边平方得，解得.
（也可以根据绝对值得性质直接去绝对值求解）
：，化为，解得.
因为是的充分不必要条件，
所以，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求当时，函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；
（2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.
【小问1详解】
设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
所以
即当时，函数的解析式为，
【小问2详解】
由，得，
因为为奇函数，所以，
当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为
21. 已知函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若在[0,2]上的最大值为2，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）利用换元法令，则，由求得，所以；（2）根据（1）有，对称轴为，函数左减右增，最大值在两端取得，、，当时，，当时，，，.
（1）令，则，又，
，即.
（2），
图像对称轴为，
在上是减函数，在上是增函数，
在上的最大值为或，
又，，
当时，，当时，，，.
22. 某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）38万部时，最大利润为7170万元.
【解析】
【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【小问1详解】
依题意，生产万部手机，成本是（万元），
故利润，而，
故，
整理得，；
【小问2详解】
时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，因 ，故 时，取得最小值
故在 时，y取得最大值
而，
故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.
23. 已知函数是定义域为的奇函数，且满足．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
（2）已知，，且，若，证明：．
【答案】（1），单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义、可求得的值，得出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论；
（2）证法一：利用得，再由基本不等式可得答案；证法二：判断出在上单调递减,在区间上单调递增，得出，，要证，即证，利用分析法证明可得答案.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，，
所以，解得，所以，
且，函数是定义域为的奇函数，
设，则
，因为，所以，
所以，，
所以函数在区间上单调递减；
【小问2详解】
证法一：由题意，，则有，
因为，所以，即，
所以，得证．
证法二：由（1）知，在上单调递减,
设，则，
因为，所以，
所以，，
所以函数在区间上单调递增；
因为，，，所以，，
所以要证，即证，
即证，即证，
代入解析式得，即证，
化简整理得，即证，
因为，显然成立，所以原不等式得证，所以．
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