河南省TOP二十名校2023-2024学年高一上学期12月调研考试数学试题（含答案）

这是一份河南省TOP二十名校2023-2024学年高一上学期12月调研考试数学试题（含答案），共4页。试卷主要包含了 对于任意的，定义运算， 函数的图象大致是， 下列各式错误的是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A B. C. D.
4. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数的对应关系如下表所示，二次函数的图象如图所示，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 24
6. 对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 定义，设，则（ ）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________.
14. 若是奇函数，则__________.
15. 若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______.
16. 已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式：，其中是实数.
19. 已知定义在上偶函数，当时，，且.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：.
20. 已知函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
21. 定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过游客数量可以达到最大值？
22. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）判断函数的单调性；
（2）解不等式：；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
新高中创新联盟TOP二十名校高一年级12月调研考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再由补集和交集的定义求.
【详解】由，得，得，因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：D.
2. 下列四个函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个函数的定义域及对应关系是否一样逐项判断即可.
【详解】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合；
对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，
不是同一个函数，故选项C不符合；
对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合.
故选：D.
3. 若函数定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，
所以的定义域是，故对于函数，有，解得，
从而函数的定义域是.
故选：A.
4. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得.
【详解】依题意，不积累一步半步行程，就没有办法达到千里之远；
不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海，等价于“汇成江河大海，则积累细小的流水”，
所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.
故选：B
5. 已知函数的对应关系如下表所示，二次函数的图象如图所示，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中所给函数值以及二次函数图像特征，利用待定系数法求解函数解析式，即可求得结果.
【详解】根据二次函数图象，可设二次函数，
因为图象经过点，所以代入得，解得，
所以，
所以.
故选：A.
6. 对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由已知得对任意实数恒成立，
所以，解得.
故选：C.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值，排除法得正确选项.
【详解】函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，故排除项；
又因为当时，，故排除项；
当时，，故排除B项
故选：C.
8. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式等价于，结合函数图像得解集.
【详解】函数在上是奇函数，当时，，
根据题意，作出的图象，如图所示.
由得，即，
则或
观察图象得或，
即不等式的解集是.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各式错误是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案；
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，无法进行合并，故B错误；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D正确.
故选：ABC.
10. 已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】结合已知条件，利用不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.
【详解】对于，因为，且，所以，所以，故A正确；
对于，因为，所以，故B正确；
对于C，令，满足且，但，故C错误；
对于D，易知，所以，故D错误.
故选：AB.
11. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式结合乘“1”法等逐项分析即可.
【详解】对于A，因为，，所以，得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；
对于B，由及，得，解得，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD.
12. 定义，设，则（ ）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】
【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.
【详解】作出函数的图象，如图实线部分，
对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误；
对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，由，解得，结合图象，得不等式的解集为，
故C正确；
对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误.
故选：BC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，
当时，，定义域为，又，
故为奇函数，舍去；
当时，，定义域为，又，
故为奇函数，舍去；
当时，，定义域为，又，
故为偶函数，满足要求，
当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去.
故答案为：
14. 若是奇函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数性质和分段函数解析式求解即可.
【详解】由知，
又是奇函数，
所以.
故答案为：
15. 若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数把不等式有解问题转化为，利用二次函数求出最值，利用二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为在内有解，即，其中；
设，则当或时，，所以，
解得，所以的取值范围为.
故答案为：
16. 已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数得，构造函数，利用函数单调性求得最值，最后解一元二次不等式即可.
【详解】由，得，
设，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
由函数单调性的性质可知在上单调递减，
所以，所以，解得或，
故实数的取值范围为.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），或
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入集合A，由并集和补集的定义求；
（2）由，分和两种类型，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，或.
【小问2详解】
因为，
（i）当时，，解得，此时满足；
（ii）当时，满足，即需满足或，
解得或.
综上所述，实数的取值范围为.
18. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式：，其中是实数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得的根为和2，然后利用韦达定理列式求解即可；
（2）根据两根大小关系分类解不等式即可.
【小问1详解】
因为，所以的根为和2，且，
所以，解得；
【小问2详解】
原不等式即为，
也即，
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，原不等式的解集为.
19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：.
【答案】19.
20.
21.
【解析】
【分析】（1）偶函数，有，代入函数解析式求的值；
（2）由函数是偶函数，求函数的解析式；
（3）由函数奇偶性和解析式解不等式.
【小问1详解】
因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得.
【小问2详解】
当时，，
设，则，则，
故
【小问3详解】
由是偶函数，等价于，即，
得，得，解得或，
故的解集是.
20. 已知函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，代入函数，求出得解析式；
（2）利用函数的单调性可得值域.
【小问1详解】
函数满足
则有解得
故.
【小问2详解】
由（1）可知，函数定义域为，
，
因为函数与都在上单调递增，
所以函数在上是增函数.
因为，
所以函数在上值域为.
21. 定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过的游客数量可以达到最大值？
【答案】21.
22. 125人/平方公里
【解析】
【分析】（1）时，；当时，设，由，，解出可得函数的表达式；
（2）由解析式，利用函数单调性和配方法，求最大值.
【小问1详解】
由题意知时，公里/小时；
当时，设，由，，
则，解得，
故.
【小问2详解】
由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，；
由于，故当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量可以达到最大值.
22. 已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）判断函数的单调性；
（2）解不等式：；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递增
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的知识判断出函数在上的单调性.
（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.
（3）先求得的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
为奇函数，所以，
则由，得，得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上，函数在上单调递增
【小问2详解】
由（1）知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得，
即，解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号来判断单调性.单调性的定义还可以表现为（或），或（或）.
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