专题2.1一元二次方程【八大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题2.1 一元二次方程【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13464" 【题型1 识别一元二次方程】  PAGEREF _Toc13464 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11370" 【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】  PAGEREF _Toc11370 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5397" 【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】  PAGEREF _Toc5397 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc28000" 【题型4 一元二次方程的一般形式】  PAGEREF _Toc28000 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25991" 【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】  PAGEREF _Toc25991 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4650" 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】  PAGEREF _Toc4650 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17516" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】  PAGEREF _Toc17516 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24277" 【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】  PAGEREF _Toc24277 \h 4【知识点1 一元二次方程的定义】等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。【题型1 识别一元二次方程】【例1】（2023春·山东青岛·九年级校考期中）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x−9)2−(x+1)2=1；③x+3=1x；④a2+1x2−a=0；其中一元二次方程的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期末）下列是一元二次方程的是（    ）A．2x+1=0 B．x2+y=1 C．x2+2x+1=0 D．x2+1x=1【变式1-2】（2023春·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）A．ax2+bx+c=0 B．x2−2=(x+3)2 C．x2+3x−5=0 D．x2−1=0【变式1-3】（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x−1=0；③x2+1x=0；④x2−2x3+3=0；⑤2x2−1=2x+12中，是一元二次方程的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m=___________．【变式2-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）若方程xm+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．【变式2-2】（2023春·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程k−1x2+2x−3=0是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可）【变式2-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）若m−1xm+1−3x+5=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】【例3】（2023春·福建龙岩·九年级统考期中）已知关于x的方程a−3x2+a−1x=3为一元二次方程，则a的取值范围是__________．【变式3-1】（2023春·福建莆田·九年级统考期末）若方程kx2−2x+1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（   ）A．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k为实数【变式3-2】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠±1 B．a≠0C．a 为任何实数 D．不存在【变式3-3】（2023春·河南漯河·九年级统考期中）若关于x的方程ax2=x+1x−1是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠−1 D．a≠±1【知识点2 一元二次方程的一般形式】一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。【题型4 一元二次方程的一般形式】【例4】（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是−7，常数项是2的方程是（    ）A．4x2+2=7x B．4x2−2=7x C．4x2+7x=2 D．−4x2−7x=2【变式4-1】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______．【变式4-2】（2023春·云南楚雄·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（   ）A．2 B．1 C．3 D．−3【变式4-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期中）若关于x一元二次方程(2a−4)x2+(3a+9)x+a−8=0不含一次项，则a=______．【知识点2 一元二次方程的解】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】【例5】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程2x2−3x−a2+1=0的一个根为2，则a的值为__________．【变式5-1】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）已知关于x的方程4x2−7x+m=0的一个根是2，则m的值是______．【变式5-2】（2023春·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0的一个根是1，则k的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【变式5-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知关于x的一元二次方程x2−22x+m−1=0，若方程有一个根是x=2+1，则m为______．【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2023春·山东德州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=−1，则2020−a+b的值是(      )A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【变式6-1】（2023春·山西朔州·九年级统考期末）已知t为一元二次方程x2−1011x+2023=0的一个解，则2t2−2022t值为（    ）A．−2023 B．−2022 C．−4046 D．−4044【变式6-2】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）已知a是方程2x2−3x−7=0的一个根，求代数式a+1a−1+3aa−2的值．【变式6-3】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，则α2+2022α−1β2+2022β+2=__________．【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】【例7】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x−1=0的根，则m3+2m2+2023的值为______．【变式7-1】（2023春·湖南永州·九年级校考期末）若m(m≠0)是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m−1m的值为（    ）A．1 B．12 C．25 D．不能确定【变式7-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知a为方程x2+3x−2023=0的根，那么a3+2a2−2026a+2023的值为_________．【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1=____．【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2021，则一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根为（    ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2019【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为2022，则方程ax+12+bx+1=−5必有根为（    ）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）关于x的方程x+m2=n的解是x1=−2，x2=1（m、n为常数），则方程x+m+32=n的解是_____．【变式8-3】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________.