专题2.2一元二次方程的解法【八大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题2.2 一元二次方程的解法【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25272" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc25272 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28978" 【题型2 配方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc28978 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14325" 【题型3 公式法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc14325 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc21768" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc21768 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4587" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc4587 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc9824" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程  PAGEREF _Toc9824 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc12627" 【题型7 用换元法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc12627 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc31343" 【题型8 配方法的应用】  PAGEREF _Toc31343 \h 23【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，x2＝ ________．【答案】 ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可.【详解】∵(2x－1)2=9∴2x－1=±3∴2x－1＝3，2x－1＝-3∴x1＝2，x2＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键.【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）【答案】x1＝4，x2＝﹣2．【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案；【详解】解：∵4x−12−36=0∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（    ）.A．m>0 B．m⩾7C．m>7 D．任意实数【答案】B【分析】根据m−7≥0时方程有实数解，可求出m的取值范围．【详解】由题意可知m−7≥0时方程有实数解，解不等式得m⩾7，故选B．【点睛】形如x+m2=a的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为(  )A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A）移项可得x2=−9，故选项A无解；（B）−2x2=0，即x2=0，故选项B有解；（C）移项可得x2=3，故选项C有解；（D）x−22=0，故选项D有解；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．【知识点2 配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．3x2−52=12x．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x2−16x=56．配方，得_________________________________，即(x−112)2=121144．两边开平方，得__________________，即x−112=1112，或x−112=−1112．所以x1=1，x2=−56．【答案】x2−56=16x  x2−16x+(112)2=56+(112)2  x−112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x2−52=12x．解：两边同除以3，得x2−56=16x．移项，得x2−16x=56．配方，得x2−16x+(112)2=56+(112)2，即(x−112)2=121144．两边开平方，得x−112=±1112，即x−112=1112，或x−112=−1112．所以x1=1，x2=−56．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：(1)x2−3x−1=0（配方法）；(2)2x2−7x+3=0（配方法）．【答案】(1)x1=3+132，x2=3−132(2)x1=12，x2=3【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．（1）解： x2−3x−1=0 ，  方程变形得：x2－3x=1，配方得：x2－3x+ 94 =1+ 94 ，即（x－ 32 ）2= 134 ，开方得：x－ 32 =± 132 ，解得：x1= 3+132 ，x2= 3−132 ；（2）解：移项得：2x2−7x=−3系数化1得：x2−72x=−32两边加上一次项系数一半的平方得：x2−72x+742=−32+742配方得：x−742=2516开方得：x−74=±54解得：x1=12，x2=3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x+2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．解：方程变形为2x2−5x+(52)2−(52)2+2=0，.......................第一步配方，得(2x−52)2−174=0．.......................................第二步移项，得(2x−52)2=174．..........................................第三步两边开平方，得2x−52=±172．...................................第四步即2x−52=172或2x−52=−172．................................第五步所以x1=5+174，x2=5−174．..................................第六步（1）上述解法错在第 步；（2）请你用配方法求出该方程的解．【答案】（1）一；（2）x1=2，x2=12．【详解】试题分析：将方程二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上(54)2，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．试题解析：变形得：x2−52x+1=0，变形得：x2−52x=−1，配方得：x2−52x+(54)2=−1+(54)2，即(x−54)2=916，开方得：x−54=±34，则x1=2，x2=12．考点：解一元二次方程-配方法．【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x2−6x+3=0；（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0．【答案】（1）x1=3+3，2x2=3−32；（2）x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；【详解】解：（1）2x2−6x+3=0两边同时除以2得：x2−3x+32=0，移项得：x2−3x=−32，两边同时加上(32)2得：x2−3x+(32)2=−32+(32)2，配方得：(x−32)2=34，解得：x1=3+3，2x2=3−32；（2）ax2+bx+c=0a≠0两边同时除以a得：x2+bax+ca=0，移项得：x2+bax=−ca，两边同时加上(b2a)2得：x2+b2ax+(b2a)2=−ca+(b2a)2，配方得：(x+b2a)2=−4ac+b24a2，当b2−4ac>0时，解得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，当b2−4ac=0时，x1=x2=−b2a，当b2−4ac<0时，该方程无实数根．【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论．【知识点3 公式法解一元二次方程】当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)3x=5x2+6；(2)x+322+10=x2x+85．【答案】(1)方程无解(2)方程无解【分析】先把原方程化为一般式，然后判断Δ的符号，如果Δ≥0，则用公式法求解即可，如果Δ<0，则原方程无解．【详解】（1）解：3x=5x2+6化为一般式得：5x2−3x+6=0，∴a=5，b=−3，c=6，∴Δ=b2−4ac=−32−4×5×6=−111<0，∴原方程无解；（2）解：x+322+10=x2x+85，化为一般式得x2+14x+145=0，∴a=1，b=14，c=145，∴Δ=b2−4ac=142−4×1×145=−384<0，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x2+7x−4=0（用公式法求解）．【答案】x1=12，x2=−4【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4， ∴△=72－4×2×（－4）=81， ∴x= −7±812×2， ∴x1=12，x2=−4．【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解题步骤是关键．【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x−1)(x−2)=5．【答案】x1=3+212，x2=3−212【分析】将原方程化为一般形式，根据求根公式，即可求解．【详解】解：原方程化为一般形式，得，x2−3x−3=0，则a=1，b=−3，c=−3，∴Δ=(−3)2−4×1×(−3)=21，∴x=−b±b2−4ac2a=3±212，∴x1=3+212，x2=3−212．【点睛】本题主要考查用公式法求解一元二次方程的解，掌握求根公式的计算方法是解题的关键．【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)9x2+1=66x；(2)2x2+43x−22=0．【答案】(1)x1=6+53，x2=6−53(2)x1=−6+22，x2=−6−22【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：a=9，b=−66，c=1，∴ b2−4ac=−662−4×9×1=180，∴ x=66±6518，∴原方程的解为：x1=6+53，x2=6−53；（2）解：a=2，b=43，c=−22，∴ b2−4ac=432−4×2×−22=64，∴ x=−43±822，∴原方程的解为：x1=−6+22，x2=−6−22．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式x=−b±b2−4ac2a是解题的关键．【知识点4 因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)2+3x2=x；(2)2x−12−x2x−1=0．【答案】(1)x1=0 ，x2=3−27(2)x1=12 ，x2=1【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2+3x2=x，∴2+3x2−x=0，∴x2+3x−1=0，∴2+3x−1=0或x=0，解得x1=0，x2=3−27；（2）解：∵2x−12−x2x−1=0，∴2x−1−x2x−1=0，即x−12x−1=0，∴x−1=0或2x−1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．【答案】x1=1,x2=2【分析】先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】解：x（x-1）=2（x-1），移项，得x（x-1）-2（x-1）=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x+1)2+42x+1+4=0；【答案】x1=x2=−32【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：(2x+1)2+42x+1+4=02x+1+22=0(2x+3)2=02x+3=0∴x1=x2=−32．【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；【答案】(1)x1=5，x2=133(2)x1=ba，x2=ab【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：3（x-5）2=2（5-x）方程变形为：3(x−5)2+2(x−5)=0，∴(x−5)3(x−5)+2=0，∴(x−5)(3x−13)=0，∴x1=5,x2=133；（2）解：abx2-（a2+b2）x+ab=0 (ax−b)(bx−a)=0，∵ab≠0，∴a≠0,b≠0，∴x1=ba,x2=ab【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−15=0 （用直接开平方法）(2)x2−8x+15=0 （用因式分解法）(3)x2−6x+7=0 （用配方法）(4)y2+2=22y（用求根公式法）【答案】(1)x1=5，x2=−5(2)x1=3，x2=5(3)x1=3+2，x2=3−2(4)y1=y2=2【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根；（2）用十字相乘法因式分解求出方程的根；（3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程；（4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根．【详解】（1）解：3x2−15=0，∴x2=5，解得：x1=5，x2=−5．（2）x2−8x+15=0，∴(x−3)(x−5)=0，∴x−3=0或x−5=0，解得：x1=3，x2=5．（3）x2−6x+7=0，∴x2−6x=−7∴x2−6x+9=2∴(x−3)2=2∴x−3=±2解得：x1=3+2，x2=3−2．（4）y2+2=22y，∴y2−22y+2=0，∴Δ=−222−4×1×2=0，∴y=22±02×2，解得：y1=y2=2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法．【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(1)4x2=16．（直接开平方法）(2)2x2−3x+1=0（配方法）(3)xx−2+x−2=0（因式分解法）(4)2x2−6x+1=0（公式法）【答案】(1)x1=2,x2=−2(2)x1=1,x2=12(3)x1=2,x2=−1(4)x1=3+72,x2=3−72，【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到x−342=116，然后利用直接开平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程．（4）求出b2−4ac=28，根据公式即可求出答案；【详解】（1）解：4x2=16，两边除以4得：x2=4，两边开平方得：x=±2，∴x1=2,x2=−2；（2）解：2x2−3x+1=0，∴x2−32x=−12，∴x2−32x+916=−12+916，即x−342=116，∴x−34=±14所以x1=1,x2=12；（3）解：xx−2+x−2=0∴x−2x+1=0，∴x−2=0或x+1=0，所以x1=2,x2=−1．（4）解：2x2−6x+1=0，∵a=2,b=−6,c=1，∴b2−4ac=−62−4×2×1=28>0，∴x=6±282×2=3±72，∴x1=3+72,x2=3−72．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：(1)x+62=9（直接开平方法 ）(2)x2+x−6=0；(公式法)(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)(4)x2+2x−120=0 (配方法)【答案】(1)x1=−3，x2=−9(2)x1=2，x2=−3(3)x1=2，x2=−1(4)x1=10，x2=−12【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用公式法解此方程，即可求解；(3)利用因式分解法解此方程，即可求解；(4)利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：由原方程得：x+6=±3，解得x1=−3，x2=−9，所以，原方程的解为x1=−3，x2=−9；（2）解：在方程x2+x−6=0中，a=1，b=1，c=−6，∴Δ=12−4×1×−6=25，∴x=−1±252=−1±52解得x1=2，x2=−3，所以，原方程的解为x1=2，x2=−3；（3）解：由原方程得：(x−2)x+1=0，解得x1=2，x2=−1，所以，原方程的解为x1=2，x2=−1；（4）解：由原方程得：x2+2x=120，得x2+2x+1=120+1，得x+12=121，得x+1=±11解得x1=10，x2=−12，所以，原方程的解为x1=10，x2=−12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．【答案】x1=2−1，x2=−2−1【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】解：配方法，移项得x2+2x=1，配方得：x2+2x+1=1+1，即x+12=2开方得：x+1=±2解得：x1=2−1，x2=−2−1；公式法：∵a=1，b=2，c=−1，∴b2−4ac=22−4×1×(−1)=8>0，∴x=−2±222=−1±2，∴x1=2−1，x2=−2−1．【点睛】此题考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．【题型6 用适当的方法解一元二次方程【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)(2x−1)2=9；(2)12x2−45x−525=0；(3)(3x−1)2−(x+1)2=0；(4)(x−2)2+x(x−2)=0；(5)12x2−52x+1=0；(6)0.3x2+0.5x=0.3x+2.1．【答案】(1)x1=2，x2=−1(2)x1=354，x2=−5(3)x1=1，x2=0(4)x1=1，x2=2(5)x1=52+43，x2=52−43(6)x1=73，x2=−3【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【详解】（1）解：(2x−1)2=9直接开平方可得：2x−1=±3，2x−1=3或2x−1=−3∴原方程的解为：x1=2，x2=−1；（2）解：12x2−45x−525=04x2−15x−175=0因式分解得：4x−35x+5=0，∴原方程的解为：x1=354，x2=−5；（3）解：(3x−1)2−(x+1)2=0，平方差因式分解得：3x−1−x+13x−1+x+1=0，整理得：2x−24x=0，∴原方程的解为：x1=1，x2=0；（4）(x−2)2+x(x−2)=0，提取公因式可得：x−2x−2+x=0，整理得：x−22x−2=0，∴原方程的解为：x1=1，x2=2；（5）解：∵方程12x2−52x+1=0，Δ=−522−4×12×1=48，∴原方程的解为：x1=52+43，x2=52−43；（6）0.3x2+0.5x=0.3x+2.1，3x2+2x−21=0，因式分解得：3x−7x+3=0，∴原方程的解为：x1=73，x2=−3【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：(1)2xx−3+x=3(2)xx−6=2x−8(3)3xx−3=2x−1x+1【答案】(1)x1=3，x2=−12(2)x1=x2=4(3)x1=9+732，x2=9−732【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：2xx−3+x=3原方程可变形为2xx−3+x−3=0方程左边因式分解，得x−32x+1=0所以x−3=0或2x+1=0所以x1=3，x2=−12；（2）解：xx−6=2x−8原方程可化为x2−8x+16=0∴x−42=0∴x1=x2=4；（3）解：3xx−3=2x−1x+1原方程可化中x2−9x+2=0∵ b2−4ac=−92−4×1×2=73>0∴ x=9±732∴x1=9+732，x2=9−732．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，并能根据每个一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：(1)9x2−1=0(2)4y2−4y+1=0(3)x2−6x−3=0 (4)x2−6x+9=5−2x2．【答案】(1)x1=13，x2=−13；(2)y1=y2=12；(3)x1=3+23，x2=3−23；(4)x1=2，x2=83．【分析】（1）利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可；（2）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；（3）利用解一元二次方程—配方法，进行计算即可；（4）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可；【详解】（1）9x2−1=0，9x2=1，x2=19，x1=13，x2=−13；（2）4y2−4y+1=0，2y−12=0，2y=1，y1=y2=12；（3）x2−6x−3=0，x2−6x=3，x2−6x+9=3+9，x−32=12，x−3=±23，x1=3+23，x2=3−23；（4）x2−6x+9=5−2x2，x−32−5−2x2=0，x−3+5−2xx−3−5−2x=0，2−x3x−8=0，x1=2，x2=83．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程(1)6x−12−25=0；(2)y2−y=3y−1(3)x2+18=22x；(4)x+1x−1+2x+3=8．【答案】(1)x1=1，x2=−23(2)y1=1，y2=3(3)x1=x2=24(4)x1=−3，x2=1【分析】（1）先移项，然后利用开平方的方法解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先把原方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵6x−12−25=0，∴6x−12=25，∴6x−1=±5，解得x1=1，x2=−23；（2）解：∵y2−y=3y−1，∴yy−1−3y−1=0，∴y−3y−1=0，∴y−3=0或y−1=0，解得y1=1，y2=3；（3）解：∵x2+18=22x，∴x2−22x+18=0，∴x−242=0，解得x1=x2=24；（4）解：x+1x−1+2x+3=8整理得：x2+2x−3=0，∴x+3x−1=0，∴x+3=0或x−1=0，解得x1=−3，x2=1．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：例：解方程：(5x+32)2−(5x+3)−15=0．解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5x+32=y，则原方程可化为y2−2y−15=0，∴(y−1)2=16，∴y−1=±4，∴y1=5,y2=−3，∴5x+32=5或5x+32=−3，∴方程的解为x1=75，x2=−95．任务：(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2−2y−15=0的过程主要用了______．A．直接开平方法　　　B．配方法　　C．因式分解法　　　D．公式法(2)解方程：x−2=3−2x−2．【答案】(1)B(2)原方程的解是x=3【分析】（1）根据小康同学的解答过程即可判断；（2）设y=x−2，用换元法求解．【详解】（1）解：由解题过程可知，上述小论文的解析过程中，解方程y2−2y−15=0的过程主要用了配方法，故答案为：B；（2）解：设y=x−2，则原方程可化为y2=3−2y，即y2+2y−3=0，∴y−1y+3=0，∴y1=1，y2=−3（不合题意，舍去），∴x−2=1，∴x=3，经检验x=3是原方程的解，所以原方程的解是x=3．【点睛】本题考查了换元法解方程，因式分解法和配方法解一元二次方程，以及无理方程的解法，掌握换元法的解题思路是解答本题的关键．【变式7-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）已知a2+b22−a2+b2−6=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】把a2+b2看作一个整体，设a2+b2=y，利用换元法得到新方程y2−y−6=0，求解即可 ．【详解】解：设a2+b2=y，据题意，得y2−y−6=0．解得y1=3，y2=−2．∵a2+b2≥0，∴a2+b2=y=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键．【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足(x2−x)2−2(x2−x)−3=0，则代数式x2−x+2020的值为_______．【答案】2023【分析】设t=x2−x，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2−2t−3=0，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式≥0，方程有解．【详解】解：设t=x2−x，由原方程，得t2−2t−3=0，整理，得t−3t+1=0，所以t=3或t=−1．当t=3时，x2−x=3，则x2−x+2020=2023；当t=−1时，x2−x=−1即x2−x+1=0时，Δ=−12−4×1×1<0，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．【变式7-3】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．【答案】(1)x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892，x4＝7−892(2)x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：2x2−7x2−21x2﹣7x+10＝0设x2−7x=a，则2a2−21a+10=02a−1a−10=0∴2a−1=0或a−10=0，解得，a1=0.5，a2=10， ∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，∴2x2−14x−1=0或x2−7x−10=0，解得，x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892，x4＝7−892；（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0设2x2+3x＝a，则a2−4a−5＝0a−5a+1＝0，∴a−5=0或a+1=0，解得，a1=5，a2=﹣1，∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，解得，x1=−2.5，x2=1，x3=−0.5，x4=−1【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．【题型8 配方法的应用】【例8】（2023·全国·九年级假期作业）若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为__________．【答案】−2【分析】运用配方法将W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3变形为W=2x−y+12+x+22−2，然后根据非负数的性质求出W的最小值即可．【详解】解：W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3=4x2−4xy+y2+4x−2y+1+x2+4x+4−2=2x−y2+22x−y+1+x+22−2=2x−y+12+x+22−2∵x、y为实数，∴2x−y+12≥0,x+2≥0,∴W的最小值为−2,故答案为：−2．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值．【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）已知N=6m−25，M=m2−2m(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　）A．MN C．M=N D．不能确定【答案】B【分析】求出M−N的结果，再判断即可．【详解】根据题意，可知M−N=m2−2m−6m+25=m2−8m+16+9=(m−4)2+9>0，所以M>N．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．【变式8-2】（2023·四川达州·模拟预测）选取二次三项式ax2+bx+ca≠0中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=x−22−2；②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=x−22+22−4x，或x2−4x+2=x+22−4+22x③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=2x−22−x2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求xy的值．【答案】（1）答案解析；（2）1．【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可． （2）根据配方法的步骤把x2+y2+xy−3y+3=0变形为x+y22+34y−22=0，再根据偶次幂的非负性质得到x+y2=0y−2=0，求出x，y的值，即可得出答案．【详解】解：（1）x2−8x+4=x2−8x+16−16+4=(x−4)2−12，或x2−8x+4=x2−4x+4−8x+4x=x−22−4x．（2）∵x2+y2+xy−3y+3=0，∴x2+xy+y24+3y24−3y+3=0，即x+y22+34y−22=0．∴x+y2=0y−2=0，解得x=−1y=2．∴xy=−12=1．【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为a1；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为a2，则利用这m+n次数据得到的最佳值为__________．【答案】 1.2 ma1+na2m+n【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2配方得到4a−1.22+1.26，则利用非负数的性质得到当a=1.2时，代数式有最小值；m+n次数据得到的最佳值为m+n个数据的平均数．【详解】解：(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2=a2−1.6a+0.82+a2−2.4a+1.22+a2−2.6a+1.32+a2−3a+1.52=4a2−9.6a+7.02=4a−1.22+1.26，∵4a−1.22≥0，∴当a=1.2时，(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2有最小值；∵m次数据的得到的最佳值为a1，n次数据得到的最佳值为a2，设最佳值为a，与m个数据的差的平方和为m(a−a1)2+t，与n个数据的差的平方和为n(a−a2)2+s，m(a−a1)2+t+n(a−a2)2+s=ma2−2ma1a+ma12+t+na2−2na2a+na22+s=(m+n)a−ma1+na2m+n2−(ma1+na2)2m+n+ma12+na22+t+s当a=ma1+na2m+n时，m(a−a1)2+t+n(a−a2)2+s最小，∴m+n次数据得到的最佳值为ma1+na2m+n．故答案为：1.2，ma1+na2m+n．【点睛】本题考查了配方法：根据完全平方公式为a2±2ab+b2=a±b2，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键．