专题2.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题2.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2359" 【题型1 利用根与系数的关系降次求值】  PAGEREF _Toc2359 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11610" 【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】  PAGEREF _Toc11610 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5857" 【题型3 利用一元二次方程求最值】  PAGEREF _Toc5857 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22316" 【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】  PAGEREF _Toc22316 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25497" 【题型5 一元二次方程中的新定义问题】  PAGEREF _Toc25497 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19093" 【题型6 一元二次方程中的规律探究】  PAGEREF _Toc19093 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc21578" 【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】  PAGEREF _Toc21578 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc4319" 【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】  PAGEREF _Toc4319 \h 7【题型1 利用根与系数的关系降次求值】【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（    ）A．−2021 B．2021 C．−2023 D．2023【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（    ）A．19 B．20 C．14 D．15【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1= ．【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则n3+n2m2n−1的值为（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：(1)x+2−8−x=2；(2)2xx2−2x−3−1x−3=1；(3)2x2−32x2−1+1=0【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2−3=x2+2 m≠1【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：解方程：x3−x=0．解：方程左边分解因式，得x(x+1)(x−1)=0，解得x1=0，x2=1，x3=−1．问题解决：（1）解方程：4x3−12x2−x=0．（2）解方程：(x2−x)2−3(x2−x)=0．（3）方程(2x2−x+1)2−2(2x2−x)−5=0的解为 ．【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：(1)x4+2x3−9x2−2x+8=0；(2)|x−1|+|x−2|+|2x−3|=4；(3)x2+y2+xy−3y+3=0．【题型3 利用一元二次方程求最值】【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2−xy−yz−zx=27，则y−z的最大值为 .【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+y−3=0，则x+y的最大值为 ．【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当a= ，b= 时，多项式a2−2ab+2b2−2a−4b+25有最小值，这个最小值是 ．【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+n2=(m+n)2−2mn， (m−1)(n−1)=mn−(m+n)+1.于是丽丽把mn 和 m+n称为基本神奇对称式 .请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①1mn ， ②m2−n2 ， ③nm， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序号）；（2）已知(x−m)(x−n)=x2−px+q. ① q=__________（用含m，n的代数式表示）；② 若p=3，  q=−2，则神奇对称式1m+1n=__________；③ 若p2−q=0 ，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值.【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】【例4】（2023春·四川眉山·九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）A．﹣27＜a＜25 B．a＞25 C．a＜﹣27 D．﹣211＜a＜0【变式4-1】（2023春·全国·九年级期中）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ．【变式4-2】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）关于x的方程(1−m2)x2−2mx−1=0的所有根都是比2小的正实数，则实数m的取值范围是 ．【变式4-3】（2023春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程(m2−5m+6)x2−(3−m)x+14=0无解，则m的取值范围是 ．【题型5 一元二次方程中的新定义问题】【例5】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1−6，求x的取值范围；（3）小明发现，无论x取何值，计算x2−2x+3∗−x2+2x−5时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由．【变式5-3】（2023春·江苏·九年级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2−7x+3=0的“友好方程”是3x2−7x+2=0．（1）写出一元二次方程x2+3x−10=0的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程x2+3x−10=0的两根为x1=2，x2=−5，它的“友好方程”的两根x3=12、x4=________．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．（3）已知关于x的方程2021x2+bx−c=0的两根是x1=−1，x2=12021．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程cx−12−bx+b=2021的两根．【题型6 一元二次方程中的规律探究】【例6】（2023春·江苏·九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请根据上述结论解决问题：方程①2x2−3x+1=0；方程②x2−2x−8=0；方程③x2+x=−29．这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1x2=ca，请你根据以上关系探究：若一元二次方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则a，b，c满足什么数量关系？（3）若(x−1)(mx−n)=0是倍根方程，求2nm的值．【变式6-1】（2023春·河南洛阳·九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程．（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解．（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解．【变式6-2】（2023春·江西抚州·九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题： (1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；(3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？【变式6-3】（2023春·贵州遵义·九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是　 　、　 　．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有　 　个圆圈；第n个点阵中有　 　个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】【例7】（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．(1)求DQ、PC的代数表达式；(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(3)当0