专题4.9图形的相似章末十大题型总结（培优篇）-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题4.9 图形的相似章末十大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11869" 【题型1 由比例的性质求值或证明】  PAGEREF _Toc11869 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6509" 【题型2 由平行判断成比例的线段】  PAGEREF _Toc6509 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25905" 【题型3 黄金分割】  PAGEREF _Toc25905 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17719" 【题型4 证明两三角形相似】  PAGEREF _Toc17719 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23714" 【题型5 证明三角形的对应线段成比例】  PAGEREF _Toc23714 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc11168" 【题型6 确定相似三角形的点的个数】  PAGEREF _Toc11168 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc3035" 【题型7 相似与翻折】  PAGEREF _Toc3035 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc7356" 【题型8 利用相似求坐标】  PAGEREF _Toc7356 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc18898" 【题型9 在网格中作位似图形】  PAGEREF _Toc18898 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc1556" 【题型10 相似三角形的应用】  PAGEREF _Toc1556 \h 11【题型1 由比例的性质求值或证明】【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知a+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值．【变式1-1】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a3=b4=c5，a+b+c=24，求△ABC三边的长．【变式1-2】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段a、b满足a:b=1:2，且a+2b=10．(1)求a、b的值；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求c的值．【变式1-3】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则ba dc，ac bd（用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若ab=cd,请判断ba+b和dc+d的大小关系，并证明；（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca−c−3b+db−d+2的值为3，求t的值.【题型2 平行判断成比例的线段的运用】【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则ENAC的值是（        ）  A．320 B．29 C．16 D．17【变式2-1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2，CD=3，求AB的长．  【变式2-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC=2BE，则AFFE=（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-3】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，R，则PQ的长为 ．【题型3 黄金分割的运用】【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为（    ）A．25−2 B．103 C．105−20 D．105−10【变式3-1】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．  【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）  【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP），  (1)求线段AP的长；(2)以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．【题型4 证明两三角形相似】【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．求证：  (1)△BDG∽△DEG；(2)BG⊥DF．【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的长；(2)求证：△ABC∽△DEF．【变式4-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N.（1）求证：ΔBCP~ΔMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.【变式4-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB=23，AD=4，求CE的长．(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF2=AB⋅AE．【题型5 证明三角形的对应线段成比例】【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC中，AB