专题6.2反比例函数的图象与性质（二）【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题6.2 反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11333" 【题型1 反比例函数图象的对称性】  PAGEREF _Toc11333 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28605" 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】  PAGEREF _Toc28605 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1991" 【题型3 两种函数图象的共存问题】  PAGEREF _Toc1991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】  PAGEREF _Toc11269 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc32549" 【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】  PAGEREF _Toc32549 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc30566" 【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】  PAGEREF _Toc30566 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc26162" 【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】  PAGEREF _Toc26162 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc19921" 【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】  PAGEREF _Toc19921 \h 42 HYPERLINK \l "_Toc2780" 【题型9 反比例函数中的存在性问题】  PAGEREF _Toc2780 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc2103" 【题型10 反比例函数中的规律问题】  PAGEREF _Toc2103 \h 62【知识点 反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型1 反比例函数图象的对称性】【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．  【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA．求证：四边形ABCD是矩形．【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2−5的图象在第一、三象限，求m的值．【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A−3,8．(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y=23．【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图象在第二、四象限，则m的值是　 　．【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3−m2的图象如图所示．（1）求m的值；（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　；（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3−m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？【题型3 两种函数图象的共存问题】【例3】（2023春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（     ）A． B．C． D．【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B．C． D．【变式3-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，关于x的函数y=−kx(k≠0)和y＝kx－k，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ）A．B．C．D．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ）A．B．C． D．【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】【例4】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线y=x−1对称后的图象经过直线y=−x+5上的点C，则线段AC的长度为 ．  【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx的图象有一个交点P的横坐标是2．(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；(2)直接写出y1>y2>0的解集为________________．(3)根据图象，直接写出当−40)，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为 ．【变式4-3】（2023春·江苏·九年级期末）如图，已知线段AB，A2,1，B4,3.5，现将线段AB沿y轴方向向下平移得到线段MN．直线y=mx+b过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线y=kx的一条分支上，(1)求反比例函数和一次函数的解析式．(2)①直接写出不等式mx+b−kx≥0的解集．②若点P是y轴上一点，且△PMN的面积为8.5，请直接写出点P的坐标．(3)若点Cx1,a，Dx2,a−2在双曲线y=kx上，试比较x1和x2的大小．【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】【例5】（2023春·江西·九年级统考期中）如图，直线y=−x+k与反比例函数y=kxx>0的图像交于A，B两点，则下列结论错误的是（    ）A．OA=OB B．当A，B两点重合时，k=4C．当k=6时，OA=26 D．不存在这样的k使得△AOB是等边三角形【变式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函数y=2x图象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当|AP−BP|达到最大时，点P的坐标是 ．【变式5-2】（2023春·江西上饶·九年级校联考期末）如图，直线y=−x＋3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y=kx在第一象限经过C，D两点，则k的值是（    ）A．6 B．274 C．272 D．27【变式5-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，OBOA=2，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C，当△ACD面积为1时，k的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kxk>0, x>0的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则S△BCDS△OAD的值为（    ）  A．53 B．32 C．52 D．3【变式6-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为62，则点C的坐标为 ．  【变式6-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC、AE．  (1)求k、b的值．(2)求△ACE的面积．(3)已知点M在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，点M的横坐标为m．若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为___________．【变式6-3】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于Aa,−2，B两点．  (1)求反比例函数的表达式；(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】【例7】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．    【尝试初探】（1）点C2，3______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，则b=______；【深入探究】（2）①若“美好点”Em，6m>0在双曲线y=kx（k≠0，且k为常数）上，则k=______；②在①的条件下，F2，n在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点Px，y是第一象限内的“美好点”．①求y关于x的函数表达式；②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（x>0）的图像平移得到；③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择）A．图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点；B．y随着x的增大而减小；C．y随着x的增大而增大；D．图像经过点10，32；④对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2−xx的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）②函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向________平移________个单位长度而得到；③函数y=2−xx的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2−xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx>0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x>−4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a．(1)若a=3，求k的值(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E①求正方形ABCD的面积；②直接写出点E的坐标．【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa<0．结合上面经历的学习过程，研究函数y=3+6x−1的图象及其性质，并按要求完成下列各题．（1）当x=2时，y的值为___________；当y=0时，x的值为___________；函数y=3+6x−1中，自变量x的取值范围是___________；（2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：____________；（3）已知函数y=x+3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式3+6x−1≥x+3的解集____________．【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】【例8】（2023春·江苏苏州·九年级校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？小鸣和小棋分别有以下思路：【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10，xy=12，联立x+y=10xy=12得x2−10x+12=0，再探究根的情况；【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y=12x与一次函数l1：y=−x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．(2)那么长为3．宽为2的矩形C是否存在完全12倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．(3)如果长为3，宽为2的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围：______．【变式8-1】（2023春·江苏·九年级期末）（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：12+18_________212×18，3+3_________23×3，6+3_________26×3（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；（3）结论应用：若a＞0，则当a＝_________时，a+4a有最小值；若b＞0，b+9b+1有最小值，最小值为_________；（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数y=9x（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y=−7x（x＜0）的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由【变式8-2】（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．  【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象（部分）．特别地，因为y=x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求y=x的图象与y=1x的交点时速用了开平方的定义：y=1xy=x，得x2=1，解得x=±1，则图象交点坐标为1,1或−1,−1．【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；(3)设C−1,m，且S△ABC=4，求m．【变式8-3】（2023春·湖南怀化·九年级溆浦县第一中学校考期中）阅读：若w为正实数，对于某一函数图象上任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若y1−y2≥wx1−x2恒成立，则称这个函数为王氏函数，w为王氏系数．(1)分别判断y=3x−2和y=1x (x>0)是不是王氏函数；(2)若y=1x (13＜x＜2)是王氏函数，求w的取值范围；(3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函数，且w的最大值为27，求a的值．【题型9 反比例函数中的存在性问题】【例9】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A−2,0，点B0,2，直线AB与反比例函数y=kxx>0的图象在第一象限交于点Ca,4．  (1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点E4,m是反比例函数y=kxx>0图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kx与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)当AB=25时，求k的值；(2)点B关于y轴的对称点为C，连接AC，BC；①判断△ABC的形状，并说明理由；②当△ABC的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接AP，BP，使△PAB的面积等于△ABC面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式9-2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与直线y=k2x+b将于交于A−1,6、B−6,m两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，    (1)求反比例函数及直线AB的解析式；(2)若S△ABC=25，求点C的坐标；(3)若点C的坐标为1,0，点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D､E､A､B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式9-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，一次函数y=kx−52k≠0的图像与y轴交于点B，与反比例函数y=mxx>0的图像交于点A8,32，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′．①若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点O′、D′的坐标；②如图3，在平移过程中，射线O′C′与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以O′、D′、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点O′的坐标．【题型10 反比例函数中的规律问题】【例10】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）【变式10-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，点B1在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（32，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（52，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）An-1Cn-1CnBn的面积为 ．【变式10-2】（2023·山东日照·二模）如图，已知点A是双曲线y＝5x在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 ．【变式10-3】（2023春·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）x…−4 −3 −2 −1 −12121234…y…−32−53−2 −3 −5 31m−13−12…