福建省百校联考2024届高三上学期12月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省百校联考2024届高三上学期12月质量检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.iD.
3．已知,为单位向量,若,则( )
A.B.C.D.
4．若函数为偶函数,则实数( )
A.1B.0C.D.2
5．刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体,如图所示,其底面为矩形,顶棱PQ和底面平行,书中描述了刍薨的体积计算方法:求积术曰,倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一,即（其中h是刍薨的高,即顶棱PQ到底面ABCD的距离）,已知,和均为等边三角形,若二面角和的大小均为,则该刍薨的体积为( )
A.B.C.D.
6．若,,则( )
A.B.C.D.
7．设等比数列的公比为q,且,设甲:;乙:,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知双曲线,点,,若C上存在三个不同的点M满足,则C的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆,圆,则下列结论正确的是( )
A.若和外离,则或
B.若和外切,则
C.当时,有且仅有一条直线与和均相切
D.当时,和内含
10．已知正实数x,y满足,则( )
A.B.
C.的最大值为0D.的最小值为
11．已知,若,则( )
A.B.
C.D.
12．在三棱锥中,平面ABC,,,P为内的一个动点（包括边界）,AP与平面所成的角为,则( )
A.的最小值为
B.的最大值为
C.有且仅有一个点P,使得
D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积
三、填空题
13．设是公差不为0的等差数列的前n项和,若,则________.
14．已知函数,且为曲线的一条切线,则________.
15．设,是椭圆的左,右焦点,O为坐标原点,M为C上一个动点,且的取值范围为,则椭C的长轴长为______.
16．已知函数,若,且,则________.
四、解答题
17．记的内角A,B.C的对边分别为a,b,c,面积为,且.
（1）求的外接圆的半径;
（2）若,且,求BC边上的高.
18．设为数列的前n项和,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,证明:.
19．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）当时,设,分别为的极大值点、极小值点,求的取值范围.
20．如图,在四棱锥中,,,,设E,F,M分列为棱AB,PC,CD的中点.
（1）证明:平面PAM;
（2）若,求EF与平面PCD所成角的正弦值.
21．已知函数.
（1）证明:有唯一的极值点;
（2）若,求a的取值范围.
22．已知抛物线,F为C的焦点,在C上,且.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若直线l与C交于A,B两点(A,B分别位于直线的两侧),且直线PA,PB的斜率之和为0.
（ⅰ）求直线l的斜率;
（ⅱ）求的面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：解不等式,得,即,而,则,
所以.
故选:B
2．答案：C
解析：因为,即,则,
所以,故.
故选:C.
3．答案：D
解析：因为,为单位向量,,
所以,则,
所以.
故选:D.
4．答案：D
解析：函数的定义域为R,由为偶函数,得,,
则,整理得,而不恒为0,
于是,即,解得,
所以实数.
故选:D
5．答案：A
解析：令点P,Q在平面ABCD的投影分别为,,取AD,BC的中点M,N,连接
PM,QN,
由平面ABCD,平面ABCD,得,
由正,得,,,平面,
则平面,同理平面,由四边形ABCD为矩形,得,
于是平面,而面,平面,则,,
显然,有,且,M,N,都在平面ABCD,因此点,M,N,共线,
显然,而平面ABCD,平面平面,平面,则,
四边形为平行四边形,,,
由,,得是二面角的平面角,即,
则,又,因此,,
同理,而,则,
所以该刍薨的体积为.
故选:A
6．答案：B
解析：由,得,解得,又,
所以.
故选:B
7．答案：C
解析：等比数列的公比为q,且,当时,,因此;
当时,有,即,而,则,
又,,于是,即,又,因此,
所以甲是乙的充要条件.
故选:C
8．答案：A
解析：设,由点,,,得,
整理得,由消去得,
即,解得或,
依题意,,则有,因此双曲线C的离心率,
所以C的离心率的取值范围是.
故选:A
9．答案：ABC
解析：圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
所以,
若和外离,则,解得或,故A正确;
若和外切,则,解得,故B正确;
当时,,则和内切,故仅有一条公切线,故C正确;
当时,,则和相交,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：BC
解析：对于A,,所以,
当且仅当,即时等号成立,故A错误;
对于B,由,可知,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,故正确;
对于C,由,可知,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,故C正确;
对于D,,当等号成文,
由可知,,当且仅当时等号成立,
因为前后两次不等式取等条件不一致,所以,故D错误.
故选:BC.
11．答案：ABD
解析：因为,所以,
又在其定义域内单调递增,所以其定义域内单调递增,故,故A正确;
由A可知,所以,故B正确;
因为单调递增,
且,
根据零点存在定理,有,故C错误;
因为,
又二次函数的对称轴为1,且在区间上单调递减,
所以,故D正确,
故选:ABD.
12．答案：ACD
解析：依题意,,
取BC的中点M,则,,
所以平面,
过A作于H,因为平面,
所以,所以平面,
易得,且H为等边的外心,
由AP与平面所成角为,可知,
所以点P轨迹是以H为圆心,为半径的圆在内部的一部分,如图所示,
所以的最小值为,A选项正确;
由于轨迹圆部分在平面外部,所以的最大值不等于,B选项错误;
因为平面,若,则点P在线段上,
有且仅有一个点P满足题意,C选项正确;
动线段AP形成的曲面为圆锥AH侧面积的一部分,因为,
所以,因为,所以曲面面积为圆锥侧面的,
圆锥AH侧面积为,
所以所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为,D选项正确.
故选:ACD.
13．答案：
解析：令等差数列的公差为d,,由,得,解得,
所以.
故答案为:
14．答案：2
解析：设与曲线相切的切点,
由求导得,切线斜率为,
因此切线方程为,
依题意,,且,联立消去得,
令函数,,求导得,
当时,,当时,,因此函数在上递减,在上递增,
当时,,则时,,
所以.
故答案为:2
15．答案：
解析：椭圆的半焦距为c,O为的中点,
,显然,于是,
因此,即,解得,,,即,
所以椭圆C的长轴长为.
故答案为:
16．答案：
解析：由可知,当时,取得最大值,
所以,则,
又,即,
所以,
因为,
又,则,
所以,则,即,
解得（负值舍去）,故,
所以,则,
则.
故答案为:.
17．答案：（1）1;
（2）.
解析：（1）在中,,解得,
由正弦定理得的外接圆的半径.
（2）由（1）知,,
由余弦定理得,则,
令BC边上的高为h,则,即,
所以BC边上的高为.
18．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）当时,,当时,,
两式相减得,则,
当时,,
又当时,,当时,,则,
显然符合,
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
19．答案：（1）答案见解析;
（2）.
解析：（1）函数的定义域为R,
求导得,
当时,单调递增;
当时,令,解得或,
则当时,由,得,由,得,
因此函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,由,得,由,得,
因此在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,由（1）知,,,
因此,设,
求导得,函数在上单调递增,,
所以的取值范围是.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）取PM的中点N,连接AN,NF,则,且,
又,且,于是,,四边形AEFN为平行四边形,
则,又平面PAM,平面PAM,
所以平面PAM.
（2）取AM的中点H,连接PH,由,得,
又,M是CD的中点,则,
又,,,M是CD的中点,则,
而,AM,平面PAM,于是平面PAM,平面PAM,,
又,,,AM,平面ABCD,因此平面ABCD,
不妨设,以点H为坐标原点,直线HA、过点H平行于CD的直线、
直线PD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,则,,
由N为PM的中点,得,,
由（1）知,,直线EF与平面PCD所成角即为直线AN与平面PCD所成角,
设为平面PCD的一个法向量,则,令,得,
设AN与平面PCD所成角为,则,
所以EF与平面PCD所成角的正弦值为.
21．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）函数的定义域为,
求导得,
令,求导得,函数在上单调递增,
又,取,且,
显然,因此存在唯一,使得,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
当时,取得极小值,无极大值,
所以有唯一极值点.
（2）由（1）知,,即,
依题意,,将代入整理得,,
设,求导得,
于是函数在上单调递减,又,则,解得,
因此,解得,
所以a的取值范围是.
22．答案：（1）;
（2）（ⅰ）;
（ⅱ）.
解析：（1）抛物线的准线为,由抛物线的定义得,解得,
所以抛物线C的方程为.
（2）（i）将代入C的方程,解得,而,解得,
设,,则直线AB斜率为,
点,则直线PB斜率为,同理得直线PA斜率为,
依题意,,解得,
所以直线l的斜率为.
（ii）设直线,由消去x得,
显然,,
由A,B分别位于直线两侧,得,,解得,
,
点P到直线AB的距离,面积为,
设,,,求导得,
由,得,当时,,当时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,
则当时,,
所以面积的最大值为.