河北省部分学校2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份河北省部分学校2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,若,则( )
A.B.1C.D.2
2．设集合,,则( )
A.B.C.D.
3．设,,,则( )
A.B.C.D.
4．设为的导函数,若,则曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．设,若,则( )
A.B.C.D.
6．在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,是CD的中点,DE与BF相交于点G,则( )
A.B.C.D.
7．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若的面积为,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数则函数的所有零点之和为( )
A.2B.3C.0D.1
二、多项选择题
9．已知,为平面上的单位向量,且,则( )
A.向量与的夹角的余弦值为
B.
C.
D.向量在向量上的投影向量为
10．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.的最小正周期为
B.
C.将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
D.若在区间上单调递增,则
11．已知函数是定义在R上的奇函数,且,则( )
A.的一个周期为3B.的图象关于直线对称
C.D.
12．已知,设函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,在定义域上单调递增
B.当时,有两个极值点
C.若,为的极值点,则
D.若,为的极值点,则
三、填空题
13．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则_________.
14．写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式______.
①为偶函数;
②的定义域为R;
③的值域为
15．已知正实数a,b满足,则的最小值为__________.
16．设,若,则a的取值范围是___________.
四、解答题
17．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,
求;
若,求的外接圆的面积．
18．设命题 “对任意,恒成立”．且命题p为真命题．
(1)求实数a的取值集合A;
(2)在(1)的条件下,设非空集合,若“”是“”的充分条件,求实数m的取值范围．
19．已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
当时,设,分别为的极大值点和极小值点,且点,,若直线AB在y轴上的截距大于,求a的取值范围.
20．记函数,的最小正周期为T.
(1)若,且直线为的图像的一条对称轴,求;
(2)若为的一个零点,且在区间上至多有两个零点,求T.
21．已知函数,
(1)求的最小值;
(2)设不等式的解集为集合A,若对任意,存在,使得,求实数a的值．
22．(1)证明：当时,;
(2)已知函数,,,为的导函数．
①当时,证明：在区间上存在唯一的极大值点;
②若有且仅有两个零点,求a的取值范围．
参考答案
1．答案：A
解析：依题,所以,,.
2．答案：B
解析：因为集合,,
则
3．答案：C
解析：由于,
且,故,
4．答案：D
解析：因为,,
所以,所以,
由,在点处的切线方程为,
所以在处的切线方程为,
5．答案：B
解析：因为,
所以,即,
所以,又,当时,,
所以
故选：B.
6．答案：A
解析：设,
由题意可知:G为的重心,且O为AC的中点,
可知A,O,G,C四点共线,且,
所以.
故选:A.
7．答案：C
解析：依题意,有,有,所以,
设面积为S,所以,有,有,解得或舍去,故
故选：C.
8．答案：D
解析：设,由得
当时,,解得：;当时,,解得：
当时,,则或,
解得或或,即的解为-1,1,3;
当时,,则或
解得,即的解为
所以的所有零点之和为,
9．答案：ABD
解析：由题意知,且,
故,即,,
故,A正确;
,故,B正确;
,
故,不垂直,C错误;
向量在向量上的投影向量为,D正确,
10．答案：AD
解析：因为,所以,,故A正确;
由,,可得,故B错误;
由A,B选项可知,,向右平移个单位,
所得函数的图象关于原点对称,C选项错误;
在上单调递增,故,D选项正确.
故选AD.
11．答案：AD
解析：由题意可知,
所以,即的一个周期为3,故A正确;
因为函数是定义在R上的奇函数,
故有,
即的图象关于对称,故B错误;
由上,但不能确定、的大小,
故C错误;
由上有,故D正确;
12．答案：ACD
解析：的定义域为,
当时,,单调递增,A选项正确;
当时,令,设,即,
,
所以,无极值点,B选项错误;
由B选项可知,时,存在两个正实数根,
存在两个极值点,所以,即,C选项正确;
,D选项正确,
13．答案：3
解析：在中,由余弦定理得,,
因为,,,
所以,化简得,,
所以或负值舍去
14．答案：答案不唯一
解析：由于的定义域为R,值域为,故可联想到三角函数,
又因为为偶函数,结合三角函数性质得：
函数可以为、等,
15．答案：12
解析：由条件可得,将展开并变形为,
利用基本不等式即可求得答案.
因为正实数a,b满足,
故,当且仅当时等号成立,
故
,
当且仅当,即时取等号,符合题意,
故的最小值为12,
16．答案：
解析：由题意得,,,
则,即,
令,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由,即,令,则恒成立,
则在单调递减,所以,所以.
17．答案：(1)2
(2)
解析：(1)由正弦定理,有,
即,解得
(2),
因为,所以,
由可知,所以,所以,
解得,所以的外接圆的面积为
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)恒成立,
即,因为,所以,
所以对任意恒成立,,
因为,当且仅当时取“=”,所以,
综上,a的取值集合为.
(2)依题意,,解得或,
因为“”是“”的充分条件,所以,
所以,解得,
所以m的取值范围为或.
19．答案：(1)当时,在R上单调递增,当时,在和上单调递增,在上单调递减
(2)
解析：(1)
当时,,在R上单调递增;
当时,令,解得或,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
综上,当时,在R上单调递增,
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)知,当时,,,且,
则直线
令,则,
依题意,,由可化为,解得,
所以a的取值范围是
20．答案：(1)
(2),
解析：(1)因为,且,
所以,则,因为为图象的一条对称轴,
所以,所以,所以;
(2)由为的一个零点,可知,
因为,所以,
又在内至多有两个零点,所以,
由,有,可得,
又由,可得或2,
①当时,,又由,
由,有,可得,有,
在区间内有一个零点,符合题意;
②当时,,又由,
由,没有满足条件的,
由上知,.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)时,,所以,
当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为.
(2),即,
解得,即,故,
设,则当,即时,
由对勾函数的性质可知,
而,
设,则由题意得为当时,的值域的子集.
当,即时,易知在上单调递增,
故得
当,即时,在上的最大值即和中的较大值,
令得,
令得,而,故不合题意;
当,即时,易知在上单调递减,
故不等式组无解.
综上所述：实数a的值为
22．答案：(1)成立
(2)见解析
解析：(1)设,则恒成立,
所以在上单调递增,故,即成立;
(2)①当时,,,
令,则,
因为当时,令,单调递增,且,
所以,故也单调递增,
故当时,单调递减,单调递减,单调递减,所以单调递减,
又,,所以存在,使得,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以在区间上存在唯一的极大值点;
②当时,又,由(1)知,,所以,
当且仅当时,等号成立,所以只有一个零点0,不符合题意;
当时,且时,,,
所以,故在上单调递减,
结合①可知,在上单调递增,在上单调递减,
又,,
所以存在,使得,
所以当时,,即,则单调递增,
当时,,即,则单调递减,
则,,所以存在,使得,
所以在有且仅有两个零点,即与,满足题意;
综上,a的取值范围是.