海南省2024届高三下学期高考全真模拟卷（八）数学试卷(含答案)

这是一份海南省2024届高三下学期高考全真模拟卷（八）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为( )
A.6B.7C.9D.11
2．下列方程中表示圆心在直线上，半径为，且过原点的圆的是( )
A.B.
C.D.
3．已知首项为1的等比数列的前n项和为，若，则( )
A.24B.12C.20D.15
4．如图所示的沙漏由两个完全相同的圆锥组成，且圆锥的底面半径和高均为2.若沙漏的起始状态为上方圆锥中充满了沙子，下方圆锥中没有沙子，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，需要54分钟全部漏完，则经过52分钟后，沙漏上方圆锥中沙子的高度为( )
A.B.C.D.
5．已知，则( )
A.B.C.D.
6．若正数a，b满足，则的最小值为( )
A.3B.6C.9D.12
7．已知正方体的棱长为2，点N为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，，点M是椭圆C上异于，的点，N为平面内一点，且满足，过点N作直线的垂线与直线交于点P，则( )
A.12B.16C.24D.32
二、多项选择题
9．已知复数z，在复平面内所对应的点分别为M，N，且点M，N均在以坐标原点O为圆心.2为半径的圆上，点M在第四象限，则( )
A.点N在第一象限B.C.D.
10．已知函数，则( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象为中心对称图形
C.函数在上单调递增
D.关于x的方程在上至多有3个解
11．已知函数的定义域为R，其图象关于中心对称，若，则( )
A.B.
C.为奇函数D.为偶函数
三、填空题
12．已知集合，，若，则实数a的取值范围为________.
13．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若，则直线l的斜率为________.
14．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若，则实数的取值范围为________.
四、解答题
15．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点P且斜率为的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求.
16．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，.
(1)证明：;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点M为线段上一点，求点M到平面的距离.
17．某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算.
(1)求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望.
18．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数a的取值范围.
19．定义：已知数列为有穷数列，①对任意i，j（，），总存在，使得，则称数列为“乘法封闭数列”；②对任意i，j（，），总存在，使得，则称数列为“除法封闭数列”，
(1)若，判断数列是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列1，，，8，为“除法封闭数列"，求和.
(3)已知数列是以1为首项的递增数列，共有k项，，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
参考答案
1．答案：C
解析：已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数，
则，
所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为圆心在上，所以设圆心为，
因为圆的半径为，
所以设圆的标准方程为，
因为该圆过原点，
所以，
解得，
所以圆心为或，
当圆心为时，圆的标准方程为，D对;
当圆心为时，圆的标准方程为.
故选：D.
3．答案：D
解析：设等比数列的公比为q，显然，否则，此等式不成立，
则，由，整理得，即，
因此，所以.
故选：D
4．答案：B
解析：因为沙子漏下来的速度是恒定的，上方圆锥的沙子匀速漏到下方圆锥中，
则经过52分钟后，漏下来的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，
下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，
所以可以单独研究下方圆锥，设为下方空白的圆锥的高，
为沙漏的高，为下方空白部分的圆锥的体积，为下方沙漏的体积，
，可得.
故选：B.
5．答案：A
解析：，
故选：A
6．答案：C
解析：因为a，b为正数，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以，
所以或（舍去），
所以，当且仅当，时等号成立.
故选：C.
7．答案：D
解析：如图：
四面体的面是直角三角形，
O，为面与的中心，所以面，
因为斜边的中点O是三角形外心，所以球心在的直线上，
面也为直角三角形，O，E分别为与的中点，所以，
面，所以面，
因为斜边的中点E是三角形外心，所以球心在的直线上，
故球心为直线与直线的交点O，
正方体的棱长为2，
所以球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为：.
故选：D
8．答案：C
解析：设M坐标为，则，
根据题意知，，
，所以N坐标为，
直线斜率为，所以直线方程为，
直线斜率为，因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，
联立直线方程与方程，
求得P点坐标为，则，，
所以.
故选：C
9．答案：AB
解析：设，，由题意可得，
解得或，所以点或，
因为点M在第四象限，所以，从而可得，
所以点N在第一象限，故A正确；
所以，故B正确；
，，所以，
所以与不垂直，故C错误；
所以，故D错误.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：当时，，
函数在上递增，函数值从增大到1；在上递减，函数值从1减小到；
当时，，
函数在上递增，函数值从增大到；在上递减，函数值从减小到，
函数在的图象，如图：
对于A，，
结合函数在的图象，得是的最小正周期，A正确；
对于B，观察函数在的图象，函数在没有对称中心，
又的最小正周期是，则函数的图象不是中心对称图形，B错误；
对于C，由函数在上递增，的最小正周期是，得函数在上递增，C正确；
对于D，观察函数在的图象，得当时，有4个解，D错误.
故选：AC
11．答案：ACD
解析：A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，
故，故，A正确；
B选项，由题意得，又，
故，
令得，即，B错误；
C选项，由题意得，即，
令，则，
所以为奇函数，C正确；
D选项，因为，所以，
即，故，
令，则，
故为偶函数，D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题可得，
当时，，则，不满足条件；
当时，，要使，则，
当时，，要使，则，
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
13．答案：
解析：抛物线的焦点，设直线l的方程为：，
联立方程，消去y得，，
设，，则，
因为，所以，
即，得，
故答案为：
14．答案：
解析：由得，
得，
得，得，
得，
故或，
又为锐角三角形，故，即，，
由及正弦定理可得，故，，
因，故恒成立，
又
，
又为锐角三角形，故，，
故当时取得最大值，
故，即实数的取值范围为，
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线C上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点P且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去y可得：，
所以，，
所以
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）因为，，
所以，所以，
因为为直四棱柱，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以
（2）由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
因为，，.设，
所以，，，，，，
所以，，，，，
设平面的一个法向量为
则，
令，则，所以
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，所以
所以点B到平面的距离为
因为，所以
因为不在平面，所以平面，
因为M在线段上，所以点M到平面的距离等价于点B到平面的距离，为
故点M到平面的距离.
17．答案：(1)；
(2)分布列见解析，期望
解析：（1）从12张中任选3张有种方法，
取到的折扣均不相同的取法有，
所以一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；
（2）X的所有取值为80，85，90，95，
，，
，，
所以X的分布列为
.
18．答案：(1)极小值为3，无极大值
(2)
解析：（1）时，，，
令解得，所以在区间上，单调递减，
在区间上，单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）由分离a得，
令，，
令，，
所以在R上单调递减，，
所以在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，，，
当时，，由此画出的大致图象如下图所示，
要使曲线与曲线有唯一的交点，
则a的取值范围是.
19．答案：(1)不是；
(2)，；
(3)是；说明过程见解析
解析：（1）由题意知，数列为：1，4，7，10，13，…58.
由，70不是数列中的项，
故数列不是“乘法封闭数列”；
（2）由题意数列递增可知，则，且，
又数列为“除法封闭数列”，则都是数列中的项，
所以，即①；
且，，即②，
联立①②解得，，；
（3）数列是等比数列.
证明：当时，设数列为1，，，，，
由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，
则，，，，，这5个数都是数列中的项，
所以有，，，，，
则有，，③；
同理由，可得，，，
则有，即④；
由③④可得，，故是等比数列.
当时，由题意数列递增可知，
则有，
由数列为“除法封闭数列”，则这k个数都是数列中的项.
所以有，，，，，.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以，，，，.
则，即⑥，
联立⑤⑥得，，
则，所以有，，，，
所以，故数列是等比数列.
综上所述，数列是等比数列.
X
80
85
90
95
P