江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期12月阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期12月阶段考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,若,则a等于( )
A.或3B.0或-1C.3D.-1
2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A.2B.3C.4D.5
3．已知，，，则a,b,c的大小为( )
A.B.C.D.
4．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知,，则( )
A.B.C.D.
6．函数的部分图象可能是( )
A.B.
C.D.
7．设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则( )
A.B.C.0D.1
8．在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法错误的是( )
A.线段与的长均为1B.线段的长为1
C.当时，点,关于y轴对称D.当时，点,关于x轴对称
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知M，N为全集U的真子集，若，则( )
A.B.C.D.
11．已知函数，当时单调递增，若角A，B，C是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是( )
A.；B.
C.；D.
12．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A.为偶函数
B.的图象没有对称中心
C.的增区间为
D.方程有5个实数解
三、填空题
13．已知关于x的不等式的解集为，则________.
14．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y.现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数.过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”.若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为________.
15．已知，则的值为________.
四、双空题
16．定义若函数，则的最大值为________；若在区间上的值域为，则的最大值为________.
五、解答题
17．已知全集为R，集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
18．已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
19．已知函数，.
（1）求的值域；
（2）求不等式的解集.
20．习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中n是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）
21．已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的值域；
(3)若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)解关于m的不等式；
(3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,且,
即,解得或,
当时,不满足集合元素的互异性,故舍去,
当时,,符合题意.
故选：C.
2．答案：A
解析：令扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，则，即，
又，故.
故选：A
3．答案：B
解析：根据指数函数的图像及性质可知：，，
所以函数单调递增且，
故，
又根据指数函数的图像及性质可知：，，
所以函数单调递减且，
故，
又根据对数函数的图像及性质可知：
函数单调递增，
则当时，，
故，
综上：，
故选：B.
4．答案：A
解析：由，则或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．答案：D
解析：,，，，
，
.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为，所以为奇函数，排除AB；
又时，所以排除D,
故选：C
7．答案：A
解析：因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且，
所以.
故选：A
8．答案：B
解析：对于A，,
，则线段与的长均为1，A说法正确；
对于B，
，B说法错误；
对于C，当时，，即，
，即，故点，关于y轴对称，C说法正确；
对于D，当时，，即
，即，
则点，关于x轴对称，D说法正确，
即说法错误的是B，
故选：B
9．答案：BC
解析：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误，
故选：BC
10．答案：BD
解析：因为M，N为全集U的真子集且，
所以，则，，，故A错误，B、D正确；
当时，当时，故C错误；
故选：BD
11．答案：AD
解析：由题意，且，，因此，
，而在上递增，，
，同理，
故选：AD.
12．答案：ACD
解析：由题意知定义在R上的函数满足，
即2为函数的周期，
当时，，当时，，
故结合函数的周期，作出其图象如图：
结合图象可知为偶函数，A正确；
结合图象可知，，为的对称中心，B错误；
对于C，结合图象知的增区间为，正确，
对于D，作出函数方程的图象，
由图象可知和的图象有5个交点，
故方程有5个实数解，D正确，
故选：ACD
13．答案：
解析：由题意可知，，2是方程的两个根，且，
由根与系数的关系得且，
解得，，则.
故答案为：.
14．答案：4
解析：设加密密钥为幂函数，则由题意得，，即
设解密密钥为指数函数，则，，即，
故接受方得到明文“9”，则，，则，，
即发送方发送的明文为4，
故答案为：4
15．答案：0
解析：，
，
，
，
故答案为：0.
16．答案：3；
解析：当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，或，
由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；
当，时，的值域为，此时，
由上可知，的最大值为，
故答案为：3；.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，或，
又，所以；
（2）因为或，所以，
又，所以，解得，即.
所以实数m的取值范围.
18．答案：（1）；
（2）
解析：因为，所以
，即
解得：或
又,所以
则
（2）
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1），
，则，所以，，
所以，，因此，函数值域为；
（2）由可得，
即，即，解得或，
因为，或.
解不等式可得，
解方程可得.
因此，不等式的解集为.
20．答案：(1)（）
(2)6次
解析：（1）由题意得，，所以当时，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）.
（2）由题意可得，整理得
两边同时取常用对数，得，整理得，
将代入，可得，所以，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
21．答案：(1)0；
(2)；
(3).
解析：（1）.
（2）.
，则，则，所以，，
函数的值域为.
（3），
令，则，，函数的对称轴为直线.
①当时，函数在上单调递减，，
，解得，此时a的取值不存在；
②当时，函数在上单调递增，，
，解得，此时a的取值不存在；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，且，
所以，，解得，此时.
综上，实数a的取值范围为.
22．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）函数的定义域为R，
因为函数为偶函数.
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因为，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）因为函数与图象有2个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在R上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以a的取值范围为.