陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测数学（理）试卷(含答案)

这是一份陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数满足,则的实部与虚部之和为( )
A.3B.5C.7D.9
3．已知,,则( )
A.0B.2C.D.4
4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．设x,y满足约束条件则的最大值是( )
A.B.0C.2D.4
6．执行如图所示的程序框图,输出的的值为( )
A.28B.36C.45D.55
7．如图,这是一个正方体的平面展开图,若将其还原成正方体,下列直线中,与直线AD是异面直线的是( )
A.FGB.EHC.EFD.BC
8．若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,则图象的对称中心的坐标是( )
A.B.
C.D.
9．设一组样本数据,,…,的平均值是1,且,,…,的平均值是3,则数据,,…,的方差是( )
A.1B.2C.3D.4
10．已知抛物线的焦点为F,直线与E交于A,B两点,直线与E交于C,D两点,若A,B,C,D四点构成的梯形的面积为18,则( )
A.14B.12C.16D.18
11．已知正四棱锥外接球的半径为3,内切球的半径为1,则该正四棱雉的高为( )
A.B.C.D.
12．已知定义在R上的函数满足,且,,现有下列4个结论:
①;
②的图象关于直线对称;
③是周期函数;
④.
其中结论正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
13．函数的定义域为________.
14．在中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,则________.
15．3名男生和3名女生随机站成一排,每名女生至少与一名男生相邻,则不同的排法种数为________.
16．若函数的最小值为0,则________.
三、解答题
17．人工智能发展迅猛,在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后,可以为用户提供更个性化服务,某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间,并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来,将数据分成了,,,,（单位：秒）这5组,并整理得到频率分布直方图,如图所示．
（1）求图中a的值;
（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）;
（3）根据以上数据,估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中,红灯等待时间低于85秒的次数．
18．已知数列的各项均为正数,其前n项和为是等比数列,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．如图1,在平面四边形BCDP中,,,垂足为A,,将沿AB翻折到的位置,使得平面平面ABCD,如图2所示.
（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l,证明:.
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合）,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20．已知双曲线的焦距为,且的离心率为.记O为坐标原点,过点的直线l与C相交于不同的两点A,B.
（1）求C的方程;
（2）证明:“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.
21．已知函数,为的导函数.
（1）若是的极大值点,求a的取值范围;
（2）已知,若存在,使得成立,证明:.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的方程为,曲线的方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
（1）求曲线,的极坐标方程;
（2）若射线与曲线交于点A（异于极点）,与曲线交于点B,且,求.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若不等式恒成立,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由,,得.
故选:A.
2．答案：D
解析：因为,所以,所以z的实部与虚部之和为9.
故选:D.
3．答案：C
解析：因为,因为,所以,
所以.
故选:C.
4．答案：B
解析：椭圆方程变形为,因为焦点在y轴上,所以,解得.
5．答案：D
解析：由题意x,y满足平面区域如图:
联立,解得,
所以当直线经过时,z取到最大值为.
故选:D
6．答案：C
解析：由程序框图可得,
输出的.
故选:C.
7．答案：C
解析：由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示,
与直线AD是异面直线的是EF,
其中,所以AD与BC共面、AD与EH共面、AD与FG共面.
故选:C
8．答案：C
解析：,
由题意得.
令,得,
所以图象的对称中心的坐标是.
故选:C.
9．答案：B
解析：由题意得,
所以数据,,…,的方差
.
故选:B
10．答案：A
解析：将代入,得,将代入,得,
所以,因为A,B,C,D四点构成的梯形的面积为18,
所以,解得,
故由抛物线定义知.
故选:A
11．答案：D
解析：本题考查四棱锥的外接球和内切球,考查直观想象的核心素养和空间想象能力.设正四棱雉的底边长为2a,高为h,外接球半径,内切球半径.设M,N分别为AD和BC的中点,则的内切圆半径即为内切球半径.设,则,.由,得,即.另外的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径,所以在中,有,即,即,所以,解得.
12．答案：C
解析：因为,
所以,
所以,即,
所以是周期为4的周期函数,则③正确.
令,得,
则,从而,故①错误;
因为,
所以,
所以,
所以的图象关于直线对称,则②正确;
易得的周期为4,且其图象关于直线及对称,
则直线及均为图象的对称轴,
从而.
令,得,
即,
则,
故
2025,故④正确.
故选:C.
13．答案：
解析：由题意得,解得,
所以函数的定义域为,
故答案为:
14．答案：2
解析：由余弦定理得,代入数据得,解得.
故答案为:2.
15．答案：360
解析：当恰好2名女生相邻时,有种排法,
当3名女生都不相邻时,有种排法,
则共有种排法.
故答案为:360.
16．答案：e
解析：由题意可知恒成立,
所以恒成立.
令,则是增函数,且,
所以,即恒成立且等号能成立.
令,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以的最小值为,所以.
故答案为:e.
17．答案：（1）；
（2）79.3；
（3）7次
解析：（1）因为各组频率之和为1,组距为10,
所以,
解得.
（2）因为,
所以中位数位于第三组中,
设中位数为x,则,
解得,所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.
（3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为,
故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由是等比数列,设公比为q,则由得,所以,
所以,所以,故由得,
所以,所以,所以;
（2）由（1）可得,当时,.
当时,.经检验不适合,
所以,所以,
则数列的前项和,
,
两式相减可得,
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）由题意可知.
因为平面平面,平面平面ABCD,平面ABCD,
所以平面SAB,
因为平面平面,所以平面SAB,则.
（2）由图1可知.
因为平面平面,平面平面ABCD,平面SAB,
所以平面ABCD,
又AB,平面ABCD,
所以,,则AB,AD,AS两两互相垂直,
故以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系:
设,则,,,,
所以,.
设,则,从而,
所以,
设平面BDQ的法向量为,
则,
令,得,
易知平面BCD的一个法向量为,
设二面角为,
则,
即,整理得,解得或（舍去）.
故当时,二面角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设C的焦距为2c,则,得,
因为,所以,
所以,故C的方程为.
（2）当轴时,不妨假设A在第一象限,
由,解得,
则,,
则,必要性得证;
由题意直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,,
联立,得,
由且,得且,
,.
,
整理得,则当或（满足且）时,
均有的面积为,所以充分性不成立.
故“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）.
因为是的极大值点,所以,即,
所以.
当时,,此时是的极大值点,符合题意,
当时,令,可得或,
因为是的极大值点,所以,解得.
综上,a的取值范围为.
（2）不妨设,因为,
所以,
即,所以,
由,得,
则,
即,
所以.
设,构造函数,
则,
所以在上为增函数,所以,
即,又,所以.
22．答案：（1）曲线的极坐标方程为:,曲线的极坐标方程为:
（2）
解析：（1）因为曲线即,
所以由,得曲线的极坐标方程为:,
曲线的方程为,
所以由,得曲线的极坐标方程为:,
整理得.
（2）射线与曲线交于点A,故,故,
射线与曲线交于点B,故,故,
由于,故,整理得,
因为,所以,所以.
23．答案：（1）
（2）.
解析：（1）当时,,得,即;
当时,恒成立;
当时,,得,即.
综上所述,不等式的解集为.
（2）因为,当时取等号,所以的最小值为5.
由不等式恒成立可得,
解得,
所以的取值范围是.