上海市闵行区六校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份上海市闵行区六校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知等差数列,,...,则该数列的前n项和( )
A.无最大值,有最小值B.有最大值,无最小值
C.有最大值,有最小值D.无最大值,无最小值
2．用数学归纳法证明时,由到时,不等式左边应添加的项是( )
A.B.C.D.
3．对于函数,给出下列结论:
①函数的图象关于点对称;
②函数的对称轴是,;
③若函数是偶函数,则的最小值为;
④函数在的值域为,
其中正确的命题个数是( )
A.0B.1C.2D.3
4．中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中,若点P是其内部任意一点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
5．是第________象限角,
6．函数的最小正周期是________.
7．已知扇形的半径长为5cm,圆心角是2rad,则扇形的弧长是cm.
8．已知点,,若,则点D的坐标是________.
9．已知无穷数列满足,,则________.
10．若,则________.
11．已知等差数列,若,则________.
12．已知,,在上的投影向量的坐标为________.
13．已知,且关于x的方程有实数根,则与的夹角的取值范围是________.
14．若复数,满足.且（i为虚数单位）,则________.
15．已知函数,将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的部分图像如图所示,若,则________.
16．已知关于z的方程有四个互不相等的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,则a的取值范围是________.
三、解答题
17．已知,,.
（1）求;
（2）若,求实数k的值.
18．设复数,.
（1）若在复平面上所对应的点在第一象限,求a的取值范围;
（2）若为纯虚数,求.
19．如图,某快递小哥从A地出发,沿小路以平均时速20km/h,送快件到C处,已知,,,,.
（1）求的面积.
（2）快递小哥出发25分钟后,公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路追赶,若汽车平均时速50km/h,问汽车能否先到达C处?
20．已知,,记
（1）求函数的值域;
（2）求函数,的单调减区间;
（3）若,恰有2个零点,,求实数m的取值范围和的值.
21．已知数列,若为等比数列,则称具有性质P.
（1）若数列具有性质P,且,,求的值;
（2）若,求证:数列具有性质P;
（3）设,数列具有性质P,其中,,,若,求正整数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：易得该等差数列首项为负,公差为正,
故该数列的前n项和,
故当或时取得最小值,无最大值.
故选:A
2．答案：D
解析：当时,有不等式,
当时,不等式为,
将上面两式的左边相减可得,由到时,不等式左边应添加的项是.
故选:D
3．答案：D
解析：因为
,
因为,所以函数的图象关于点对称,故①正确;
令,,解得,,
所以函数的对称轴是,,故②正确;
因为为偶函数,
所以,,解得,,
所以的最小值为,故③正确;
当,则,当,
即时,故④错误.
故选:D
4．答案：C
解析：由八卦图的对称性可得,
故
.
设到的距离为,则,
解得.
又
.
又即在上的投影,
其最大值为,
最小值为.
故,
即.
故选:C
5．答案：三
解析：易知,因此与的终边相同,
因为在第三象限,所以是第三象限角.
故答案为:三
6．答案：
解析：函数的最小正周期.
故答案为:
7．答案：10
解析：由题意,弧长是cm.
故答案为:10
8．答案：
解析：设,则,,
因为,所以,即,解得,
所以.
故答案为:
9．答案：3
解析：因为,,即,
所以是以1为首项,为公比的等比数列,所以,
设的前n项和为,则,
所以.
故答案为:3
10．答案：/
解析：,
,
,
,
,
,
.
故答案为:.
11．答案：
解析：因为等差数列,,,
则.
12．答案：
解析：由,得,
所以在上的投影向量.
故答案为:
13．答案：
解析：因为关于x的方程有实数根,所以,即,设与的夹角为,所以,因为,所以,即与的夹角的取值范围是
14．答案：
解析：设,,
,
,又,所以,,
,
,
.
故答案为:.
15．答案：/
解析：设,,,其中为的最小正周期,
根据得:,解得,
因为是由图像上的点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变,
所以的解析式为,故,即.
故答案为:
16．答案：
解析：因为,即,解得,
设所对应的两点分别为A、B,则、,
设的解所对应的两点分别为C、D,记为,,
当,即,解得,即时,
因为A、B关于x轴对称,且C、D关于x轴对称,
则以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形,所以A、B、C、D四点共圆;
当,即或时,
此时,,且,,
故此圆的圆心为,半径,
又圆心到的距离,
解得,
综上可得.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,,
所以,
所以
.
（2）因为,
所以,即,
即,解得.
18．答案：（1）
（2）4.
解析：（1）由题意可知,因为,
所以,
所以,
又因为在复平面上对应的点在第一象限,
所以,
解得.
所以实数a的取值范围为.
（2）因为为纯虚数,
所以,即,
所以,
故.
19．答案：（1）
（2）汽车先到达C处,理由见解析
解析：（1）因为,,,
由余弦定理得,
即,故,
解得,负值舍去,
故
（2）在中,由正弦定理得,
又,故,
因为,所以,
,
故汽车所需时间为h,
因为,由余弦定理得
,
故,
故,
快递小哥出发25分钟,骑行路程为,
剩余路程为,到达C处所需时间为,
其中,
故,所以汽车先到达C处.
20．答案：（1）
（2）
（3）,
解析：（1）由题意可知,
则函数函数的值域为
（2）由
因为,所以,令,解得,
函数,的单调减区间
（3）
因为,所以,
根据条件在恰有2个零点,,则有两个根,
即有两个根,则,解得
实数m的取值范围
根据函数在恰有2个零点,,即有两个根,
因为,令,解得,所以关于对称,
则.
21．答案：（1）5
（2）见解析
（3）且
解析：（1）由题意可知,,成等比数列.
则
即,,解得.
（2）证明:;
.
,,
数列是以6为首项,以2为公比的等比数列故数列具有性质.
（3）设数列的前n项和为,则
当时,;
当时,;
经检验,.
由,解得,
则,,
由数列具有性质P,则为等比数列,
,故数列为以2为首项以2为公比的等比数列,
则,于是,
即,由.
则数列是以为首项,以为公比的等比数列,
故,则.
,化简可得.
①若m为偶数,则,即;
②若m为奇数,则,即;
综上可得,m的取值范围是且.