徐州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份徐州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．的展开式中所有不含x的项的系数之和为( )
A.B.C.1D.243
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
3．设A，B为两个事件，已知，，，则( )
A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6
4．“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和.”若我们将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是( )
A.B.C.D.
5．经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知离散型随机变量X服从二项分布且，，则的最小值为( )
A.2B.C.D.
7．不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A.，B.，
C.，D.，
8．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，直三棱柱中，，，D，E，M分别为，，的中点，点N是棱AC上一动点，则( )
A.B.存在点N，平面
C.平面D.存在点N，
10．下列说法正确的是( )
A.已知随机变量，若，，则
B.的展开式中，的系数为20
C.已知，则
D.从一批含有10件正品､4件次品产品中任取3件，则取得1件次品的概率为
11．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是( )
A.事件与事件互斥B.
C.事件B与事件相互独立D.
三、填空题
12．定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________.
13．饕餮（tātiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为__________.
14．如图，在三棱柱中中，，，两两互相垂直，，M，N是线段，上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________.
四、解答题
15．有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？
（1）甲同学既不站在排头也不站在排尾；
（2）甲､乙､丙三位同学两两不相邻；
（3）甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻；
（4）甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻.
16．如图，在四面体中，平面，，，点D在线段上.
（1）当点D是线段中点时，求点A到平面的距离；
（2）若二面角的余弦值为，求的值.
17．某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元：分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润.
（1）求上表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率；
（3）求X的分布列及均值.
18．已知平行四边形中，，，，E是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X（单位：）.
（1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率.
参考数据：若，则，，，，
参考答案
1．答案：B
解析：的展开式中，
展开式的通项为，
当时，此时符合的项为，
令，时，展开式中所有不含x的项的系数之和为.
故选:B.
2．答案：A
解析：，
在上的投影向量是:
故选：A.
3．答案：D
解析：A，B为两个事件，，，
则
故选:D.
4．答案：C
解析：将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的情况有11种，分别为:
其中两个加数均为素数的情况有4种，分别为:
两个加数均为素数的概率是.
故选:C.
5．答案：C
解析：设事件A表示"四月份降雨"，事件B表示"出现四级以上大风天气"，
则，，，
所以，
所以.
故选:C.
6．答案：B
解析：离散型随机变量服从二项分布且
，，
则，即，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故选:B.
7．答案：A
解析：当时，的所有可能取值为1，2，
则，
所以，
当时，的所有可能取值为1，2，3，
则，，
所以，
所以，.
故选:A.
8．答案：B
解析：取BD中点O，连结AO，CO，
，，
，，，
是二面角的平面角，以O为原点，OC，OD所在直线为x轴，y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，
设二面角的平面角为，则，
由AB、CD的夹角为，
，
即，
，则
即的最大值为.
故选:B.
9．答案：AD
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，连接，，如图
由题可知四边形是正方形，则，则题知平面平面ABC，平面平面，，平面ABC，
平面，又平面，，
又，平面M平面，
平面，，故A正确;
对于B，如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设，，则，
若，则，即，方程无实数根，即BN与MN不垂直，
故不存在点N，使得面，故B错误.
对于C，当N是AC中点时，，，平面，
当N不是AC中点时，MN与相交，若平面，结合平面，可知平面平面，这显然与图形不符(与AC相交)，如图:
故此时MN与平面不平行，故C错误;
对于D：当N是AC中点满足题意，故D正确.
故选:AD.
10．答案：ACD
解析：对于A，根据二项分布的数学期望和方差的公式，
可得，，解得，所以A正确;
对于B，展开式的通项为
令，可得的系数为，故B错误；
对于C，由，得
解得，故C正确；
对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以，故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，所以事件与事件互斥，故A正确;
对于B，由题意可知，，故B正确;
对于D，因为，，，，
所以，故D正确;
对于C，因为
，
，
所以，故事件B与事件不独立，故C错误.
故选:ABD.
12．答案：
解析：由题意得，又因为为单位向量，所以，设，则，所以，因为，所以，所以的取值范围是
13．答案：或0.1
解析：质点P从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，
基本事件总数有10种，分别为:
右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下，
下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，
其中恰好是没着站餐纹的路线到达的情况只有1种：右右下下下，
质点跳动的路线恰好在湌䬭纹上的概率为.故答案为:.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）30240；
（2）14400；
（3）2880；
（4）21600.
解析：(1)根据题意，甲同学既不站在排头也不站中间位置，则甲的安排方法有6种，
将剩下的7人全排列，安排在剩下的位置，有种情况，
则有种安排方法;
(2)先把其余5人全排列有种排法，排好后有6个空位，再把甲、乙、丙三位同学插入6个空位中，有种排法，
故所有的排法种数有种；
(3)首先安排甲乙，有排法，再安排丙丁，有种排法，
最后把甲乙看作一个元素，丙丁看作一个元素与其余4人组成6个元素进行全排列有种排法，则排法种数有种;
(4)根据题意，甲、乙两同学不相邻，且乙、丙两同学也不相邻，即甲、丙都不与乙相邻，
其排法种数可以从全排列种数中排除甲丙两人至少有一人与乙相邻的种数，故有种排法.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：(1)因为平面，，以点A为坐标原点，AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为D为AC的中点，则，，，，
设平面PBD的法向量为，，，
则，取，可得，
又
所以，点A到平面PBD的距离为;
(2)设点，，，
设平面PBD的法向量为，
则，取，可得，，
易知平面PAD的一个法向量为，
所以
解得，
此时点D为AC的中点，
故.
17．答案：（1），；
（2）0.896；
（3）分布列略，1.5万元.
解析：（1）因为统计了100位采用分期付款的购车者，且分9期付款的频率为0.2，
所以，
解得；
(2)以频率作为概率，购买该品牌汽车的顾客中采用分9期付款的概率为0.2，
事件A"购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款"，
则；
(3)由题意可知，X的所有可能取值1，1.5，2，
则，
，
，
所以X的分布列为:
所以(万元)
18．答案：（1）证明略；
（2）.
解析：(1)证明:平行四边形ABCD中，，，
沿直线BD将翻折成，
可知，，
即，故，
又平面平面ABD，
平面平面，平面BCD，所以平面ABD；
(2)由(1)知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，又E是线段AD的中点，
所以，，
在平面中，，
设平面法向量为，
所以，令，得，，故，
设直线BD与平面所成角为，
则，
所以直线BD与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）分布列略，；
（2），；
（3）.
解析：(1)由题意，的可能取值为0，1，2，3，且，
，，
，，
所以随机变量的分布列为:
故数学期望
；
(2)由题意可知服从二项分布，
故，
所以技术攻坚的成功率为
，
所以;
(3)记至少有一个零件直径大于9.4nm为事件A，因为，
所以，，
所以
所以，所以，
故至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为0.2056.
付款方式
分3期
分6期
分9期
分12期
分15期
频数
30
20
a
10
b
x
1
1.5
2
P
0.3
0.4
0.3
0
1
2
3
P