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第22章 人教版数学九年级上册教案10 第2课时 二次函数与最大利润问题
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这是一份第22章 人教版数学九年级上册教案10 第2课时 二次函数与最大利润问题，共12页。
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与最大利润问题 典案二 导学设计一、阅读课本： 二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元． （2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 课题第2课时 二次函数与最大利润问题授课人教学目标知识技能通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测.数学思考对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.问题解决通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程，体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.情感态度通过对实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望.教学重点用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.教学难点通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.请求出下列二次函数的最大值或最小值：（1）y＝2x2－4x－5；（2）y＝－x2＋3x.2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.提示：对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；对于第2题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形面积公式列函数解析式，最后求最值.1.通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课提供铺垫.2.复习运用二次函数解答面积问题，采用类比的方法让教学效果较为明显.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？师生活动：教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.教师展示问题：那么该如何定价呢？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程.师生活动：教师展示问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题；②利润随着价格的变化而变化.学生先独立思考，教师给予引导.师生共同分析以下问题：①销售额为多少？②成本为多少？③利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么？④变量x的取值范围如何确定？⑤如何求解最值？教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法：300－10x≥0，x≥0.师生共同写出涨价问题的函数解析式.教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行对比：解：设每件涨价x元，利润为y元.根据题意，得y＝（60＋x）（300－10x）－40（300－10x）＝－10x2＋100x＋6000（0≤x≤30）.因为a＝－10<0，所以函数有最大值.当x＝5时，y有最大值为6250.教师指导、点拨，重点强调：①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值.活动二：按照上述涨价的问题，教师给予学生时间解答降价的最值问题.教师做好指导，待学生解答问题完毕后，与答案进行对比，教师做好展示：解：设每件降价x元，利润为y元.根据题意，得y＝（60－x）·（300＋20x）－40（300＋20x）＝－20x2＋100x＋6000（0≤x≤20）.当x＝2.5时，y有最大值为6125元.总结：当定价为每件65元时，利润最大为6250元.2.师生总结：教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：①确定自变量和函数；②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式；③确定自变量的取值范围；④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.1.通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式.2.通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元/件，销售量相应减少20件.当销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？最大利润是多少？师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评.解：设销售单价提高x元/件，半个月内获得的利润为y元.根据题意，列函数解析式为y＝（30＋x－20）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000（0≤x≤20），所以当x＝5时，y有最大值为4500.答：当销售单价定为35元/件时，才能在半个月内获得最大利润，最大利润为4500元.师生总结：（1）确定自变量和函数；（2）表示出单位利润和销售数量；（3）利用利润公式列出函数解析式；（4）运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.应用举例是对于课题学习的针对性练习.【拓展提升】例2 某水果经销商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱苹果售价不得高于55元.经市场调查发现，若每箱苹果以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱苹果以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间满足一次函数关系.（1）求每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）求该经销商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数解析式；（3）当每箱苹果的销售单价为多少时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路.教师做好总结和展示：解：（1）y＝－3x＋240.（2）由题意，得w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600.（3）当x＝60时，w有最大值，但因为x≤55，所以当x＝55时，w的值最大，为1125.故当每箱苹果的销售单价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1125元.拓展提升是对基础知识的提高和应用，培养学生的实际应用能力和提升思维能力.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.童装专卖店销售一种品牌的童装，已知这种童装每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）满足函数解析式y＝－x2＋50x－500，要想每天获得最大利润，销售单价应定为（ B ）A.20元/件 B.25元/件 C.30元/件 D.40元/件2.服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售，每天可销售（200－x）件，若想每天获得最大利润，则x应定为（ A ）A.150 B.160 C.170 D.1803.某产品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，每个月能售出500个.如果这种商品的销售单价每上涨1元/个，每月的销售量就减少10个，那么为使每月获得最大利润，其单价应定为（ B ）A.130元/个 B.120元/个 C.110元/个 D.100元/个4.十堰中考为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x（元/个）和游客居住房间数y（个）的信息，乐乐绘制出y与x之间的函数图象，如图22－3－14所示.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，那么当房价定为多少时，合作社每天获得的利润最大？最大利润是多少？师生活动：学生单独思考解题，教师适当引导学生根据题意和函数图象中的数据求相应的函数解析式，结合配方法及自变量的取值范围求最值.图22－3－14解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70k＋b＝75，80k＋b＝70，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.5，b＝110，))则y与x之间的函数解析式是y＝－0.5x＋110.（2）设合作社每天获得的利润为w元，则w＝x（－0.5x＋110）－20（－0.5x＋110）＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5（x－120）2＋5000.∵60≤x≤150，∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000.答：房价定为120元/个时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.1.课堂总结：（1）你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第51页习题22.3第2，8题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境和探究新知环节中，通过解决实际生活中的利润问题，得到解答此类问题的一般方法，构建函数模型；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由讨论时间，提高学生解答问题的积极性.②[讲授效果反思]教师强调：利用利润公式列函数解析式；（2）在数量与价格的变化中可以利用表格的形式表示数量关系.③[师生互动反思]从课堂发言和练习来看，借助实际问题和开放自由的讨论给予课堂活力，使学生能够充分理解利润问题的函数模型.④[习题反思]好题题号 错题题号 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.53
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与最大利润问题 典案二 导学设计一、阅读课本： 二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元． （2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？ 课题第2课时 二次函数与最大利润问题授课人教学目标知识技能通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测.数学思考对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.问题解决通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程，体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.情感态度通过对实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望.教学重点用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.教学难点通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.请求出下列二次函数的最大值或最小值：（1）y＝2x2－4x－5；（2）y＝－x2＋3x.2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.提示：对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；对于第2题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形面积公式列函数解析式，最后求最值.1.通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课提供铺垫.2.复习运用二次函数解答面积问题，采用类比的方法让教学效果较为明显.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？师生活动：教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.教师展示问题：那么该如何定价呢？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程.师生活动：教师展示问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题；②利润随着价格的变化而变化.学生先独立思考，教师给予引导.师生共同分析以下问题：①销售额为多少？②成本为多少？③利润y与每件涨价x元之间的函数解析式是什么？④变量x的取值范围如何确定？⑤如何求解最值？教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法：300－10x≥0，x≥0.师生共同写出涨价问题的函数解析式.教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行对比：解：设每件涨价x元，利润为y元.根据题意，得y＝（60＋x）（300－10x）－40（300－10x）＝－10x2＋100x＋6000（0≤x≤30）.因为a＝－10<0，所以函数有最大值.当x＝5时，y有最大值为6250.教师指导、点拨，重点强调：①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值.活动二：按照上述涨价的问题，教师给予学生时间解答降价的最值问题.教师做好指导，待学生解答问题完毕后，与答案进行对比，教师做好展示：解：设每件降价x元，利润为y元.根据题意，得y＝（60－x）·（300＋20x）－40（300＋20x）＝－20x2＋100x＋6000（0≤x≤20）.当x＝2.5时，y有最大值为6125元.总结：当定价为每件65元时，利润最大为6250元.2.师生总结：教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：①确定自变量和函数；②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式；③确定自变量的取值范围；④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.1.通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式.2.通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元/件，销售量相应减少20件.当销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？最大利润是多少？师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评.解：设销售单价提高x元/件，半个月内获得的利润为y元.根据题意，列函数解析式为y＝（30＋x－20）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000（0≤x≤20），所以当x＝5时，y有最大值为4500.答：当销售单价定为35元/件时，才能在半个月内获得最大利润，最大利润为4500元.师生总结：（1）确定自变量和函数；（2）表示出单位利润和销售数量；（3）利用利润公式列出函数解析式；（4）运用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.应用举例是对于课题学习的针对性练习.【拓展提升】例2 某水果经销商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱苹果售价不得高于55元.经市场调查发现，若每箱苹果以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱苹果以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间满足一次函数关系.（1）求每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）求该经销商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数解析式；（3）当每箱苹果的销售单价为多少时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路.教师做好总结和展示：解：（1）y＝－3x＋240.（2）由题意，得w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600.（3）当x＝60时，w有最大值，但因为x≤55，所以当x＝55时，w的值最大，为1125.故当每箱苹果的销售单价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1125元.拓展提升是对基础知识的提高和应用，培养学生的实际应用能力和提升思维能力.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.童装专卖店销售一种品牌的童装，已知这种童装每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）满足函数解析式y＝－x2＋50x－500，要想每天获得最大利润，销售单价应定为（ B ）A.20元/件 B.25元/件 C.30元/件 D.40元/件2.服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售，每天可销售（200－x）件，若想每天获得最大利润，则x应定为（ A ）A.150 B.160 C.170 D.1803.某产品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，每个月能售出500个.如果这种商品的销售单价每上涨1元/个，每月的销售量就减少10个，那么为使每月获得最大利润，其单价应定为（ B ）A.130元/个 B.120元/个 C.110元/个 D.100元/个4.十堰中考为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x（元/个）和游客居住房间数y（个）的信息，乐乐绘制出y与x之间的函数图象，如图22－3－14所示.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，那么当房价定为多少时，合作社每天获得的利润最大？最大利润是多少？师生活动：学生单独思考解题，教师适当引导学生根据题意和函数图象中的数据求相应的函数解析式，结合配方法及自变量的取值范围求最值.图22－3－14解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70k＋b＝75，80k＋b＝70，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.5，b＝110，))则y与x之间的函数解析式是y＝－0.5x＋110.（2）设合作社每天获得的利润为w元，则w＝x（－0.5x＋110）－20（－0.5x＋110）＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5（x－120）2＋5000.∵60≤x≤150，∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000.答：房价定为120元/个时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.1.课堂总结：（1）你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第51页习题22.3第2，8题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境和探究新知环节中，通过解决实际生活中的利润问题，得到解答此类问题的一般方法，构建函数模型；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由讨论时间，提高学生解答问题的积极性.②[讲授效果反思]教师强调：利用利润公式列函数解析式；（2）在数量与价格的变化中可以利用表格的形式表示数量关系.③[师生互动反思]从课堂发言和练习来看，借助实际问题和开放自由的讨论给予课堂活力，使学生能够充分理解利润问题的函数模型.④[习题反思]好题题号 错题题号 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.53
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