第22章 人教版数学九年级上册教案11 第3课时建立适当的坐标系解决实际问题

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22.3 实际问题与二次函数第3课时　二次函数与拱桥类问题 典案二 导学设计学案一 学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。学习过程:一、预备练习：1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．2. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 m 二、新课导学：1、如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？课题第3课时　二次函数与拱桥类问题授课人教学目标知识技能1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.数学思考1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想；2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想.问题解决通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.情感态度1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.教学重点探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.二次函数解析式常见的形式有哪几种？并说明其特征.2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时：向上平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向下平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向左平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？向右平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评.在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：图22－3－23是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？图22－3－23师生活动：教师进行引导，提出问题：对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题，教师进行提示：①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；③求出函数解析式，进而求点的坐标；④求函数解析式应该用待定系数法.师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程.解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－eq \f(1,2)，所以抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,2)x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±eq \r(6)，所以CD－AB＝（2 eq \r(6)－4）米，则水面宽度将增加（2 eq \r(6)－4）米.图22－3－24活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致.如解法：如图22－3－25，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标（－2，0）代入解析式，得a＝－eq \f(1,2)，所以抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±eq \r(6)，所以CD－AB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2 \r(6)－4))米，则水面宽度将增加（2 eq \r(6)－4）米.图22－3－252.归纳总结教师引导学生进行归纳总结：①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线的函数解析式；④直接利用图象解决实际问题.1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便，更明确易懂.2.通过总结抛物线形实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确解题方向.活动三：开放训练体现应用【应用举例】自动喷灌设备的喷流情况如图22－3－26所示，设水管AB在高出地面3.5米的B处有一自动旋转的喷水头，水流是抛物线形，喷头B与水流最高点C连线与地面成45°角，水流最高点C比喷头B高2米，求水流落点D到点A的距离.图22－3－26师生活动：学生按要求进行解答，教师做好指导、点拨.教师关注：（1）学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题；（2）学生是否具有探索精神.激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学建模思想，增强应用意识.【拓展提升】如图22－3－27，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面eq \f(20,9)米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米.设篮球运动的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3.05米.问此球能否投中篮筐？图22－3－27师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果.教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助.通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生视野，提高学生灵活运用知识的能力.活动四：课堂总结反思【达标测评】1.如图22－3－28所示的是一学生推铅球时铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，观察图象，则铅球推出的水平距离是　10　m. 图22－3－28 图22－3－292.小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图22－3－29为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为（ B ）A.14　　　　　 B.11　　　　　C.6　　　　　 D.33.某工厂的大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯，两盏壁灯之间的水平距离为6 m，如图22－3－30所示，则厂门的高约为　6.9 m　（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1 m）.图22－3－304.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形，喷出水流的高度y（m）与喷出水流距喷嘴的水平距离x（m）之间满足函数解析式y＝－eq \f(1,2)x2＋2x.（1）求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少；（2）求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.1.课堂总结：（1）你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第52页习题22.3第3题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效解决了教学的重难点；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由时间，让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.②[讲授效果反思]教师强调重点：（1）明确解决抛物线形问题的步骤；（2）设抛物线的函数解析式时，要根据函数图象选择恰当的形式.③[师生互动反思]在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.④[习题反思]好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.