新高考数学二轮培优大题优练2 数列（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，
并加以解答．
已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足________，求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
【答案】（1）证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两边除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若选①： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若选②： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
若选③： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
例2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解的 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1），记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
例3．如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 个圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴和直线 SKIPIF 1 < 0 均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 个圆的面积之和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
设圆 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别切 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等比数列且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
模拟优练
1．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求公差 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）5．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的最小值为5．
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
验证知，当 SKIPIF 1 < 0 时，也成立．
综上， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）据（1）求解知， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为25．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值及通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无整数解，
综上可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时也成立．
综上可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，前3项和为13，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析．
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由前3项和为13，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）选择①
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择②
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择③
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当n为奇数时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
当n为偶数时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在n为偶数时单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．已知递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为各项非零的等差数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，___________．
在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】条件选择见解析；（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】选①解：
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
选②解：
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解法同选①的第（2）问解法相同．
8．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
因为数列 SKIPIF 1 < 0 为正项数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．