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新高考数学二轮培优大题优练8 圆锥曲线定值定点问题（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，O为原点，点 SKIPIF 1 < 0 是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，N关于原点O的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 三点共线，求证：直线l经过定点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．①
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入①
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即直线l恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
例2．已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的上顶点， SKIPIF 1 < 0 是面积为 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值？
若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）是定值，定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
同理当 SKIPIF 1 < 0 时，也有 SKIPIF 1 < 0 ．
当切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ．
模拟优练
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 分别作直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，设两直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，探究：直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点，并说明理由．
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，探究： SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
②当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 时，试问：点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C有且仅有一个公共点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆C的方程及A点坐标；
（2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究 SKIPIF 1 < 0 是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．
参考答案
1．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析．
【解析】（1）由点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在，设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，显然过点 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
2．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）是定值，定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是定值，且定值是 SKIPIF 1 < 0 ．
3．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②是，1．
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
②由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为定值1．
4．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程与直线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）将 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 联立，得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①当斜率 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时有 SKIPIF 1 < 0 ；
②当斜率 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对分子： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
对分母： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 为定值．