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新高考数学二轮培优大题优练11 导数恒成立问题（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）3．
【解析】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
且函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3．
例2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数，
此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意．
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 与恒成立不符，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ．
例3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 没有极值点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所满足的关系式，并求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 没有极值点，所以 SKIPIF 1 < 0 无解或有重根，
即 SKIPIF 1 < 0 无解或有重根．
① SKIPIF 1 < 0 时，不满足条件；
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得，函数 SKIPIF 1 < 0 没有极值点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依题意得：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，矛盾；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在函数 SKIPIF 1 < 0 图象的上方，
SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线，
下证： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
模拟优练
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）解： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当x变化时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变化如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 的图象的下方，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不具有单调性；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是常数函数，不具有单调性；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不具有单调性；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 的图象的下方等价于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）依题意，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合要求，舍去，
综上所述，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行时，求实数a的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由已知得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
整理得 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
增
极大值
减
极小值
增