山西省运城市盐湖区第五高级中学2025届高三上学期开学考试数学试卷（原卷版）

这是一份山西省运城市盐湖区第五高级中学2025届高三上学期开学考试数学试卷（原卷版），共5页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（共40分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设且，则的最大值是（ ）
A. 400B. 100
C. 40D. 20
4. 已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A. 12B. 8C. 4D. 14
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A. 2B. 0C. 60D. 62
7. 已知函数则下列结论错误的是（ ）
A. 存在实数，使函数为奇函数；
B. 对任意实数和，函数总存零点；
C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.
8. 两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（ ）
A B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的周期
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点P，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则P的轨迹的长度为
11. 已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 弦的中点轨迹是圆
B. 直线的交点在定圆上
C. 线段的最小值为
D. 的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________．
13. 已知二项式的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为__________.
14. 函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上___________（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为___________．
四、解答题（共77分）
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，，求a的值．
16. 如图，在四面体中，平面，M是中点，P是的中点，点Q在线段上，且．
（1）求证：平面．
（2）若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ．
17. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
18. 已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点），
（1）求双曲线的离心率；
（2）求的面积.
19. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
（1）当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到数列的第6项；
（2）当时，求数列的通项公式；
（3）是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.