新高考数学一轮复习学案第03讲 函数的概念（2份打包，原卷版+解析版）

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一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中 SKIPIF 1 < 0 叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合 SKIPIF 1 < 0 叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（6）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求解 SKIPIF 1 < 0 的定义域，或已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域求 SKIPIF 1 < 0 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数 SKIPIF 1 < 0 的表达式求 SKIPIF 1 < 0 的解析式的问题，令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，然后代入 SKIPIF 1 < 0 中即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：配凑法是将 SKIPIF 1 < 0 右端的代数式配凑成关于 SKIPIF 1 < 0 的形式，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调，且 SKIPIF 1 < 0 时均有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．1C．0D． SKIPIF 1 < 0
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的 SKIPIF 1 < 0 值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子 SKIPIF 1 < 0 可表示自变量为 SKIPIF 1 < 0 、因变量为 SKIPIF 1 < 0 的函数
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点最多有 SKIPIF 1 < 0 个
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一函数
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；②f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；③f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 x；④f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（3）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f( SKIPIF 1 < 0 ＋1)＝x＋2 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝± SKIPIF 1 < 0
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝ SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足： SKIPIF 1 < 0 的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．
SKIPIF 1 < 0
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2C．3D． SKIPIF 1 < 0
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．6D．8
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)= SKIPIF 1 < 0 ，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足对任意x1≠x2，都有 SKIPIF 1 < 0 0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[ SKIPIF 1 < 0 ,1)C．a∈(0, SKIPIF 1 < 0 ]D．a∈[ SKIPIF 1 < 0 ,2)
15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有意义，则实数 SKIPIF 1 < 0 可能的取值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是一次函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、双空题
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________，若方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______；若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
四、填空题
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒大于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别由下表给出 则 SKIPIF 1 < 0 的值为________________；满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的值是______________．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是_________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是一次函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 _____．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为_______
33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f( SKIPIF 1 < 0 )＝3x，则f(x)＝_________.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，且满足对任意 SKIPIF 1 < 0 等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为_____________．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______________.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.
五、解答题
39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
1
3
1
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
3
2
1
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 ；
（6） SKIPIF 1 < 0 ；
（7） SKIPIF 1 < 0 ；
（8） SKIPIF 1 < 0
（9） SKIPIF 1 < 0 ；
（10） SKIPIF 1 < 0 .
40．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 是二次函数且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .